2003證明題集：
17、（本題滿分6分）如圖，⊙o1與⊙o2相交與m、n兩點，p是⊙o1內一點，直線pm分別交⊙o1、⊙o2於點b、c ，直線pn分別交⊙o1、⊙o2於點a、d。
求證：ab//cd
19、（本題滿分8分）（1）如圖1，在△abc 中，∠b 、∠c 均為銳角，其對邊分別為b、c,求證： =；
（2）在△abc 中，ab=，ac=，∠b =450,問滿足這樣的△abc 有幾個?在圖2中作出來(不寫作法,不述理由)並利用(1)的結論求出∠acb的大小。
21、（本題滿分10分）如圖1，點c為線段ab上一點，△acm， △cbn是等邊三角形，直線an，mc交於點f。
（1） 求證：an=bm；
（2） 求證： △cef為等邊三角形；
（3） 將△acm繞點c按逆時針方向旋轉900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，並判斷第（1）、（2）兩小題的結論是否仍然成立（不要求證明
20（本題滿分10分）在菱形abcd中，e、f分別在cd、bc上，且ce=cf，求證：ae=af
24、（本題滿分12分）
如圖，ab是⊙o的直徑，以b為圓心的圓交ob於c，交⊙o於e、f，交ab的延長線於d，鏈結ec並延長交⊙o於m，
（1） 求證：ae是⊙o的切線
（2） 求證：em平分∠aef
（3） 鏈結om，n為ao上一點，且mn=mo，求證：mn∥be
18、如圖是2023年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案，其中四邊形abcd和efgh都是正方形。
求證：△abf≌△dae
【證明】
34. 已知：以的直角邊ab為直徑作⊙o，與斜邊ac交於點d，e為bc邊上的中點，鏈結de。
（1）如圖，求證：de是⊙o的切線；
（2）鏈結oe，ae，當為何值時，四邊形aoed是平行四邊形，並在此條件下求的值。
（第（2）問答題要求：不要求寫出解題過程，只需將結果填寫在答題卡相應題號的橫線上。）
25．已知：在△abc中 ，ad為∠bac的平分線，以c為圓心，cd為半徑的半圓交bc的延長線於點e，交ad於點f，交ae於點m，且∠b＝∠cae，fe:fd＝4:3．
⑴ 求證：af＝df；
⑵ 求∠aed的余弦值；
⑶ 如果bd＝10，求△abc的面積．
22．如圖，在abcd中，點e、f在對角線ac上，且ae＝cf．請你以f為乙個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想並證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一組線段相等即可）．
⑴ 鏈結
⑵ 猜想
⑶ 證明：
25．如圖，矩形abcd中，o是ac與ｂｄ的交點，過o點的直ef與ab、cd的延長線分別交於e、f。
（1） 求證：△boe≌△dof
（2） 當ef與ac滿足麼條件時，四邊形aecf是稜形，並明你的結論。fad
obc e
27．如圖1，d是△abc的bc邊上的中點，過點d的一條直線交ac於f，交ba的延長線於e，ag∥bc交ef於g，我們可以證明egdc=edag成立（不要求考生證明）。
（1） 如2，若將圖1中的過點ｄ的一條直線交ａｃ於ｆ，改為交ｃａ的延長線於ｆ，交ｂａ的延長線於ｅ，改為交ｂａ於ｅ，其它條件不變，則ｅｇｄｃ＝ｅｄａｃ還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說出理由；
（2） 根據圖２，請你找出四條線段之間的關係，並給出證明；
（3） 如圖３，若將圖１中的過點ｄ的一條直線交ａｃ於ｆ，改為交ｃａ的反向延長線於ｆ，交ｂａ的延長線於ｅ，改為交ｂａ於ｅ，其它條件不變，則（２）得到的結論是否成立？
efga
a gg aec
feb d
b d c b d cf
圖圖圖３
25、如圖，已知ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，連線ac，過點c作直線
cd⊥ab於點d，e是ab上一點，直線ce與⊙o交於點f，鏈結af，與
直線cd交於點g。
求證：（1）∠acd=∠f； （2）ac2=ag·af。
證明題（7分）24．已知：如圖6，ce⊥ab，df⊥ab，垂足分別為e、f，
ac∥db，且ae＝fb.
求證：ac＝bd.
12、如圖，在△abc中，以bc為直徑的⊙o交ab於d，交ac於e，bd=ce。
求證：ab=ac
7、如圖，pa是⊙o的切線，切點為a，pcb是⊙o的割線，交⊙o於c、b兩點，半徑od⊥bc，垂足為e，ad交pb於點f，bf=pf。
⑴求證：pa=pf
⑵若cf=1，求切線pa的長。
10、已知：如圖1，給出下列6個論斷，①ab是⊙o1的直徑；②ec是⊙o1的切線；
③ac是⊙o2的直徑；④bc·ec=de·bd；⑤de∥bc；⑥de·bc=2ce2。
⑴將6個論斷中的3個作為題設,2個論斷作為結論，寫出乙個真命題，並加以證明；
⑵如果ab不是⊙o2直徑(如圖2)，你能否再從其餘5 個論斷中選取乙個論斷作為題設，乙個論斷作為結論，使其成為真命題(不要求證明)。若能，請寫出兩個；若不能，請你再新增乙個條件，寫出兩個真命題。
22．（8分）如圖，已知：ac=ad，bc=bd
求證：∠1=∠2
證明：25．（8分）如圖，△abc中，∠bac的平分線ad交bc於d，⊙o過點a，且和bc切於d，和ab、ac分別交於e、f。設ef交ad於g ，鏈結df。
（1） 求證：ef∥bc ；
（2） 已知：df =2 ，ag =3 ，求的值。
22．已知：如圖5，點a、b、c、d在同一條直線上，ab＝cd，∠d＝∠eca，ec＝fd．求證：ae＝bf．
26．已知：三角形abc內接於⊙o，過點a作直線ef．
（1）如圖6，ab為直徑，要使得ef是⊙o的切線，還需新增的條件是（只須寫出三種情況）：
或或（2）如圖7，ab為非直徑的弦，∠cae＝∠b．求證：ef是⊙o的切線．
30.如圖8,已知ab是⊙o的直徑,bc是⊙o的切線,切點為b,oc平行於弦ad
求證:dc是⊙o的切線.
32.(7分)如圖10,△abc是圓內接正三角形,p為劣弧bc上一點,已知ab=,pa=6.
(1) 求證:pb+pc=pa;
(2) 求pb、pc的長
21. 如圖8．pa和pb分別與⊙o相切於a，b兩點，作直徑ac，並延長交pb於點d．鏈結op，cb．
（1）求證：op∥cb；
（2）若pa＝12，db：dc＝2：1，求⊙o的半徑．
22．如圖9．在rt△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，o為bc的中點。（1）寫出點o到△abc的三個頂點 a、b、c（2）如果點m、n分別**段ab、ac上移動，移動中保持an＝bm，請判斷△omn的形狀，並證明你的結論。
24.（本題滿分8分）為防水患，在漓江上游修築了防洪堤，其橫截面為一梯形（如圖所示）．堤的上底寬ad和提高df都是6公尺，其中∠b＝∠cdf．
（1）求證：△abe∽△cdf；
（2）如果tanb＝2，求堤的下底bc的長．
27. 如圖，ab是⊙o的直徑，過圓上一點d作⊙o的切線de，與過點a的直線垂直於e，弦bd的延長線與直線ae交於c點．
（1）求證：點d為bc的中點；
（2）設直線ea與⊙o的另一交點為f，求證：＝4ce·ea；
（3）若弧ad＝弧db，⊙o的半徑為r．求由線段de、ae和弧ad所圍成的陰影部分的面積．
22．如圖9，已知△abc內接於⊙o，直線de與⊙o相切於點a．bd∥ca．
求證：ab·da＝bc·bd．
22.證明：∵ de與⊙o相切，
∴ ∠c＝∠1
∵ bd∥ca，
∴ ∠2＝∠36分
∴ △abc∽△bda9分
12分∴ ab·da＝bc·bd
22．（本題滿分12分）
如圖5，已知ab為⊙o的直徑，ac為弦，od∥bc，交ac於d，bc＝4cm．
（1）求證：ac⊥od．（4分）
（2）求od的長．（4分）
（3）若2sina－1＝0，求⊙o的直徑．（4分）
29．如圖9。⊙o的割線pba交⊙o於a、b，pe切⊙o於e，∠ape的平分線和ae、be分別交於c、d．pe＝，pb＝4，∠aeb＝60°
（1）求證：△pde∽△pca．（3分）
（2）試求以pa、pb的長為根的一元二次方程．（3分）
（3）求⊙o的面積．（答案保留л）．（3分）
23．（本題4分）已知：如圖5，點a、e、f、c在同一條直線上，ad∥bc，ad＝cb，ae＝cf．求證：be＝df
26．（本題6分）如圖 8，⊙與⊙相交於a、b兩點， a切⊙於點a，過點o；作⊙的割線hd經過點，交ab於點e，bc是⊙的直徑．
（1）求證： e·ac ＝ae·ab；
（2）若e＝1，ac＝8，求h的長．
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