定積分不等式證明方法
一柯西不等式方法利用柯西不等式證明的問題經常含有特殊的形態，比如涉及兩個積分項相乘，或者含有函式平方、平方根的積分。
柯西不等式設在上連續，則有
等號成立的充分必要條件是存在常數使得或者。注意有些問題（不一定在不等式證明中）會涉及到等號成立的條件。
例1 設在上連續，證明。
證明在柯西不等式中設，即證。
例2 設在上連續，且恆正，證明
證明在柯西不等式中設，取函式，可證。
例3 設在上具有連續導數，如果，求證
其中為在上最小值，。
證明在柯西不等式中，分別設函式為，有
等式中，這是由推廣積分中值定理得到：
設是上恆大於等於零的連續函式，如果在上連續，則存在使得
。例4在上具有連續導數，如果，求證
證明因為，所以
由積分可加性，有
兩邊取定積分，得
例5 設在上連續，且，證明
。證明左邊不等式由柯西不等式得。
由條件，有，所以得。
例6 設為上連續週期函式，週期為1，如果滿足：，且，求證
。以及取等號的條件。
證明由條件，有
利用離散柯西不等式，有
。且取等式充分必要條件是：
，即。所以
。特別當時，有
根據週期性，以及，有
，所以取等號充分必要條件是。
注本題並不是利用連續型柯西不等式方法證明結論，而是利用離散型柯西不等式方法證明結論，但問題是在利用柯西不等式時採用了「一般人」想不到的「技巧」，這種技巧並不明顯。確實柯西不等式形式上是簡潔的，但對於什麼樣不等式，我們會想到採用柯西不等式來證明呢？這才是問題的所在，回答它並不容易。
當然這地方可以避免使用離散型柯西不等式證明：，而是利用導數方法證明。
二常數變異法將區間某端點看成變數（或者轉換為變數），然後利用上限函式求導。此類定積分不等式問題中，通常含有某些函式滿足連續、單調條件，此時可以通過將上限或下限涉及到的常數符號，在整個不等式中換成與變數積分變數無關的變數，然後作輔助函式，再通過求導對輔助函式的單調性進行研究。
例1．設在上連續，且單調增加，證明
分析將定積分不等式視為數值不等式，可利用相應的函式不等式的證明方法證明，將要證的不等式兩端做差，並將上限換成，作輔助函式如下
如果證明，即證得原命題。
證明對求導，得
由於在上單調增加，且因為，所以有，再根據定積分性質，有。由此知在上單調增加，則，得，得證。
例2 設在上連續，，且單調增加，證明存在使得
分析假設結論成立，則有，而由上例知道，此不等式成立。再由，且單調增加，知在上滿足，則由推廣積分中值定理有使得，如此得
即可證明結論。
例3 設在上有連續導數，且求證
證明設輔助函式則。
設，則因為，所以嚴格單調遞增，且，所以
。又因為，所以得，由此得：
所以有，得，即得
。注當時，此題為94北方交通大學數學競賽試題，美國數學競賽試題。
例 4 設在上連續，如果對於任意在上有一階連續導數，且在點取值為零的函式，都滿足
，求證可導，且。
證明設，則有
由條件得
下證，在上與恒等。
採用反證法，如果存在，使得（同理可證情況）
，則由連續性有，存在，使得在(或者，或者，下面僅對第一種情況說明)且在此區間上。建構函式滿足：在取常值，在上取零，在內單調遞增，則在上有。由此由定積分性質得
矛盾。所以得在上與恒等，即證得題中命題。
三微分中值定理方法當題目條件含有一階以上連續導數時，可考慮微分中值定理證明方法。
例1（前蘇聯競賽題）設在上有一階連續導數，求證
其中為在上的最大值。
證明利用拉格朗日中值定理得：
所以有則由定積分性質得
習題 1. 設在上有一階連續導數，求證
其中為在上的最大值。
2.（1985陝西省高校數學競賽試題）設在上有一階連續導數，滿足，。求證
。解由已知條件有
所以有與由此.
與，得證。3.（前蘇聯競賽試題） 在區間是否存在函式使其有一階連續導數，且滿足：
，，。解利用題2，有如果存在，使得，則
，矛盾，所以，；同理，。但此時在處不可導，矛盾。
由此不存在這樣函式。
4. 在區間是否存在函式使其有一階連續導數，且滿足：，，。
5. 設在上存在連續的階導數，且有
，則存在使得
。是否存在函式使其有一階連續導數，且滿足：，，。
四凹凸性利用當題目條件給出二階導數符號時，可考慮函式凹凸性方法
例1 設在上有二階連續導數，且在上有，求證
證明因為在上有，所以函式為凹函式，即對於任意有
所以有。五重積分法
對含有形式的不等式可考慮將轉化為形式。然後再利用相關性質進行證明。
例1 設為上的單調增加的連續函式，如果，證明
證明將不等式通分變形為
轉化為分次積分
同理有將所得兩式相加有
由已知條件，得，即得，所以原不等式成立。
例2 （柯西不等式） 設在上連續，則有
證明 因為
所以有。
例3（98北京資訊工程大學試卷）設在上有一階連續導數，求證
證明因為在上連續，如果在上無零點，則在上取值同號，由此有。
如果存在，使得，有，所以有：
。得證。例4 求證。
證明因為
，取，則有
，又因為
，所以有。
定積分的證明題44題
題目1證明題容易 題目2證明題容易 題目3證明題一般 題目4證明題一般 題目5證明題一般 題目6證明題一般 題目7證明題一般 題目8證明題一般 題目9證明題一般 題目10證明題一般 題目11證明題一般 題目12證明題一般 題目13證明題一般 題目14證明題一般 題目15證明題一般 題目16證明題一般...
高數證明題的提綱
一 極限存在準則 1 準則 夾逼準則 如果數列及滿足下列條件 1 2 那末數列的極限存在,且 思路提示 1 利用夾逼準則求極限，關鍵是構造出與,並且與的極限相同且容易求.2 一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數列的通項 右邊取分母最小，左邊取分母最大 例題1 證明 解 因為，而。例題2 計算 解 因為...
高數證明題三步走
縱觀近十年考研數學真題，大家會發現 幾乎每一年的試題中都會有乙個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數學統一考試的同學所學專業要麼是理工要麼是經管，同學們在大學學習數學的時候對於邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致數學考試中遇到證明推理題就發怵，以致簡單的證明題得分...