一、極限存在準則
1． 準則（夾逼準則）：如果數列及滿足下列條件:
（1）; （2）
那末數列的極限存在, 且
思路提示：
1）利用夾逼準則求極限，關鍵是構造出與, 並且與的極限相同且容易求.
2）一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數列的通項（右邊取分母最小，左邊取分母最大）
例題1 證明
解：因為，
而。例題2 計算
解：因為，
而，所以。
例題3 計算
解：由於，
而，於是。
例題4 證明
解：由於，
而,所以.
例題5 計算
解：由於，
而，所以。
例題6 計算
解：因為
而，根據極限存在準則，
。例題7 證明
解：由於，，
而，所以。
例題8 證明
解：由於，
而， 所以。
例題9 計算
解：由於
而，所以。
例題10 設為正數，求證。
解：不妨設，此時有
，由於是乙個正的常數，而，所以
。2． 準則ii（單調有界準則）：單調有界數列必有極限.
思路提示：1）直接對通項進行分析或用數學歸綱法驗證數列單調有界；
2）設的極限存在，記為，代入給定的的表示式中，則該式變為的代數方程，解之即得該數列的極限。
例題11 設，證明數列的極限存在，並求此極限。
解：顯然，設，若，
所以對一切，有。因此它是單調遞增且有上界！因此極限存在。
設，對，兩邊求極限，有，
，由於，所以極限為2 。
例題12 已知數列中的每一項都是正的，並且，證明數列是單調的，並證明。
解：由題意，
所以，即單調上公升；
又，有界。
所以存在。設，因為，兩邊取極限
，顯然只能。
例題13 若序列的項滿足：為正的常數），且，（）
試證：有極限，並求出它。
解：由，又；
下面用數學歸納法證：，
又，故單調且有下界，從而其極限存在，令其為
由，即，所以。
例題14 設，求。
解： 因，故，這說明數列單調增加。
下面證明它有上界。顯然，，假設，則
，所以數列有上界為。
根據單調增加有上界數列必有極限的存在準則可知，存在，設，
對關係式兩邊取極限得，，解得。
因數列各項均為正數，根據極限的保號性定理，它的極限值不可能為負數，因此，
。例題15 求
解：先證存在，設，
因為所以；又，故數列單調減少且有下界0，
根據單調有界準則知，存在。設，
對等式兩邊求極限，得到，即。所以。
例題16 求
解：令，，
則，由於，由夾逼定理，
，即。二、方程根的存在性證明
1．利用零點定理證明
零點定理：設函式在內連續，且，則在內至少存在一點，使
思路提示：（命題的證明步驟）
1）構造輔助函式：①先把結論中的改寫成；②移項，使等式右邊為零，令左邊的式子為；
2）驗證在內連續；
3）驗證
4）由定理：至少存在一點，使。
5）若要證明在內有且僅有一根，則還需證明此函式在內單調；或證明一元次方程至多只有乙個實根。
例設在上連續，且有，證明在內至少存在一點，使。
證明：令。因為在上連續，所以在上連續。
且，於是；所以由零點定理，在內至少存在一點，使，即。
例設在上連續且恒為正，證明：對任意必存在一點
，使得證：令。因為在上連續，於是在上連續。而，所以在上也連續。又在上恒為正，，
於是所以由零點定理，在內至少存在，使得，
即。例證明在內至少存在一根。
證：令，由於在上連續，
，於是，所以由零點定理，在內至少存在一根，使，即在內至少存在一根。
例若在上連續，且，則方程至少有一實根。
證：令，因為在上連續，所以在上連續
而，故；
若，則，即是方程的乙個根；
若，則由零點定理，存在，使，即。
綜上所述方程至少有一實根。
例證明方程在有且僅有乙個實根。
證：令，，所以；又在上連續，於是在上至少存在乙個實根；
又，於是在內單調遞增，所以在內有且僅有乙個實根。
例證明方程在內有且僅有兩個不同的實根
證：；於是，令
（唯一駐點）
又因為在與分別至多有乙個零點。
又因為是在內的最大值，由於，而
，可知在和內分別至少有乙個零點，故在內有且僅有兩個實根。
例證明方程在內有三個實根。
證：令，
於是在內至少各有乙個根存在，又為一元三次方程最多有三個實根，故在內有三個實根。
例證明方程至少有乙個不超過的正根。
證：令，；
若，則是方程的乙個實根；
若，則，所以在上滿足零點定理，方程至少有乙個不超過的正根。
例證明方程有且僅有兩個實根。
證：兩邊同乘上，令
，在上連續，
且，所以在上滿足零點定理，所以至少存在
，使得。又因為方程為一元二次方程，至多有二個實根，於是方程有且僅有兩個實根。
2．利用羅爾定理
羅爾定理：如果函式滿足：在連續，在可導，，則在內至少一點，使得（即在該點有平行於軸的切線存在）
思路提示：
1）輔助函式的作法：（以拉格朗日中值定理為例）
分析： ，
令，並移項，得；
令2）驗證在內連續；在內可導；
3）驗證
4）由定理：至少存在一點，使。
例設，不求方程，證明在內各有一根存在。
證：由於在上連續，在可導，又
，所以由羅爾定理，在內至少存在一點，
使得；又為三次函式，所以至多有三根，於是
在內有且僅有一根存在。
例若方程有乙個正根，證明方程
必有一小於的正根。
證：設，在上連續，在內可導，且。由羅爾定理，至少存在，使。即
有乙個正根。
例設滿足的實數，證明方程
在內至少有乙個實根。
分析：函式雖然在上連續，但卻難以驗證在
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