1. 設 , . 求: i. ab－ba ii. a2－b2 iii. btat
解. ,
2. 求下列矩陣的逆矩陣
i. ii.
iii. iv.
解. i.
, ii. . 由矩陣分塊求逆公式:
得到:iii. . 由矩陣分塊求逆公式:
所以 iv. 由矩陣分塊求逆公式:
得到:3. 已知三階矩陣a滿足 . 其中 , , . 試求矩陣a.
解. 由本題的條件知:
4. k取什麼值時, 可逆, 並求其逆.
解.所以5. 設a是n階方陣, 且有自然數m, 使(e + a)m = 0, 則a可逆.
解. 因為
所以 . 所以a可逆.
6. 設b為可逆矩陣, a是與b同階方陣, 且滿足a2 + ab + b2 = 0, 證明a和a + b都是可逆矩陣.
解. 因為 , 所以 .
因為b可逆, 所以
所以 . 所以都可逆.
7. 若a, b都是n階方陣, 且e + ab可逆, 則e + ba也可逆, 且
解.= =
所以 .
8. 設a, b都是n階方陣, 已知|b| ≠ 0, a－e可逆, 且(a－e)－1 = (b－e)t, 求證a可逆.
解. 因為(a－e)－1 = (b－e)t, 所以(a－e)(b－e)t = e
所以 ,
由 |b| ≠ 0 知存在.
所以 . 所以a可逆.
9. 設a, b, a + b為n階正交矩陣, 試證: (a + b)－1 = a－1 + b－1.
解. 因為a, b, a + b為正交矩陣, 所以
所以 10. 設a, b都是n階方陣, 試證明: .
解. 因為
所以因為 , 所以
11. 設a為主對角線元素均為零的四階實對稱可逆矩陣, e為四階單位矩陣
i. 試計算|e +ab|, 並指出a中元素滿足什麼條件時, e + ab可逆;
ii. 當e + ab可逆時, 試證明(e + ab)－1a為對稱矩陣.
解. i. ,
, 所以當時, e + ab可逆.
ii.因為a, b為實對稱矩陣, 所以為實對稱矩陣, 所以(e + ab)－1a為對稱矩陣.
12. 計算下列各題:
i. ii.
解. i.
所以ii. 假設 , 則a的三個互不相同的特徵值為於是存在可逆矩陣p, 使得
所以 於是
13. 設 , 求an.
解. 使用數學歸納法.
假設 =
則 == 所以 = =
14. 設a為n階可逆矩陣, 證明 i. , ii. , iii. , iv. .
解. i.
ii.iii. 先證明: 當a, b為同階可逆矩陣時, 有
證明:下面證明本題:
因為 . 兩邊取"*"運算, 所以 .
於是 iv.
15. a是n階方陣, 滿足am = e, 其中m是正整數, e為n階單位矩陣. 今將a中n2個元素aij用其代數余子式aij代替, 得到的矩陣記為a0. 證明 .
解. 因為am = e, 所以 , 所以a可逆.
所以 16. 設矩陣
i. 證明: n ≥ 3時, (e為三階單位矩陣)
ii. 求a100.
解. i.
所以 假設
則 =所以 ii.
17. 當時, a6 = e. 求a11.
解. , 所以
因為 18. 已知a, b是n階方陣, 且滿足a2 = a, b2 = b, 與(a－b)2 = a + b, 試證: ab = ba = 0.
解. 因為(a－b)2 = a + b, 所以
於是 , 所以
因為 a2 = a, b2 = b, 所以 2ab = 0, 所以
19. 設a, b, c均是n階方陣, |e－a| ≠ 0, 如果c = a + ca, b = e + ab, 求證: b－c = e.
解. 因為 b = e + ab, 所以 , 所以可逆.
對於 b = e + ab, 右乘得 , 左乘b, 得b = e + ba
所以所以右乘 , 得 b－c = e
(注: 本題中條件|e－a| ≠ 0 可以不要)
20. 設a為n階非奇異矩陣, α為n維列向量, b為常數. 記分塊矩陣
i. 計算並化簡pq;
ii. 證明: 矩陣q可逆的充要條件是 .
解. i.
因為 , 所以 , = 0
所以 ii. 因為
所以 所以
所以存在的充要條件為
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