**一道數學例題的「一題多解」
通山一中萬小勇
在人民教育出版社出版的全日制普通高階中學教科書高一數學上冊130頁中例4的學習時，筆者認為可以引導學生深入分析挖掘，用好等差數列前n項和公式及其性質，得到其他的解法，從而起到「一題多解」的目的。
例4：已知乙個等差數列的前10項和是310，前20項和是1220，由此可以確定其前n項和的公式嗎？
分析一：將已知條件代入等差數列前n項和的公式後，可得到關於1與d的關係，然後確定1與d，從而得到所求前n項和公式.
解法一：由題意知 s10=30， s20=1220
將它們代入公式 sn=n1+得到
101+45d=310
解這個關於1與d的方程組，得到1=4, d=6
201+190d=1220
所以sn=4n+
分析二：∵為等差數列，∴sn=
將條件代入可求得d與1.
解法二 ②
②－①×2 得20－10=600
由得d=6
又由sn=n1+得
s10=101+45×6=310
∴1=4
∴sn=4n+
分析三：因為為等差數列，所以可設sn=an2+bn，求出a，b即可.
解法三：設sn=an2+bn，將它們代入可得
100a+10b=310
得到 a=3，b=1
400a+20b=1220
∴sn=3n2+n
分析四：運用等差數列前n項和公式，sn=n1+的變形式解題.
解法四：由sn=n1+,
即由此可知數列也成等差數列.∵∴
∴ =30n+1
∴s10n=300n2+10n
∴sn=3n2+n
分析五：根據性質「已知成等差數列，則sn, s2n－sn, s3n－s2n,…skn－s(k－1)n,…(k≥2)成等差數列」解題.
解法五：根據上述性質，知s10，s20－s10，s30－s20成等差數列，設公差為d，
故d=(s20－s10)－s10=(1220－310)－310=600
∴s10n－s10(n－1)=600
∴s10n=s10+(s20－s10)+(s30－s20)+…+(s10n－s10(n－1))
=310+(310+600)+310+600×2+…+[310+600()]
=310n+600·[1+2+3+…+()]=310n+600·
=300n2+10n
∴sn=3n2+n
教材給出了第一種解法，目的是讓學生熟悉公式的用法，這是一種常規解法。解法二是等差數列前n項和的應用，在本公式中只要知道了n, ,就可求，除此之外，若知道兩個有關的和，我們還可以去求解公差d與首項1，進而去求其他的量。解法三是等差數列前n項和sn的變式，即凡是能夠寫成sn=an2+bn，則必為等差數列通過求解變數a、b得到sn，方便快捷。
解法四利用了等差數列前n項和sn的性質，必是等差數列，於是先去求解，再反求，利用該種解法時，一定要注意結構的構造，否則易出錯。解法五，在應用時要注意間隔要相等，否則不成。筆者認為在學習了課本的常規方法後，不妨針對等差數列前n項和的公式及性質進行仔細分析、挖掘，引導學生提出餘下的幾種解法，開拓學生思維，發揮學生的積極主動性，學好等差數列前n項和的公式及性質。
一題多解啟發學生解決問題時可以多多思考，用好已有的性質公式，甚至提出新的思想，從而放飛思緒。讓學生明白，問題可能有乙個，但解決該問題的思想方法並非唯一，以上個人看法僅供參考。
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