一、舊知回顧
立體幾何題型與方法(文科)
1．平面
平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
（1）.證明點共線的問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據：由點**上，線在麵內 ，推出點在麵內）， 這樣可根據公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。
（2）.證明共點問題，一般是先證明兩條直線交於一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。
（3）.證共面問題一般先根據一部分條件確定乙個平面，然後再證明其餘的也在這個平面內，或者用同一法證明兩平面重合
2. 空間直線.
（1）. 空間直線位置關係三種：相交、平行、異面. 相交直線：共面有且僅有乙個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內，無公共點
（2）. 平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等（如右圖）.
（直線與直線所成角）
（向量與向量所成角
（3）. 兩異面直線的距離：公垂線段的長度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
[注]：是異面直線，則過外一點p，過點p且與都平行平面有乙個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （或在這個做出的平面內不能叫與平行的平面）
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
（1）. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.
（2）. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行.（「線線平行線面平行」）
（3）. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.（「線面平行線線平行」）
（4）. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和乙個平面垂直，過一點有且只有乙個平面和一條直線垂直.
● 若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
● 三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這兩條直線垂直於這個平面.（「線線垂直線面垂直」）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面.
性質：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行.
（5）.a.垂線段和斜線段長定理：
從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
b.射影定理推論：如果乙個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那麼這點在平面內的射影在這個角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
（1）. 空間兩個平面的位置關係：相交、平行.
（2）. 平面平行判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行.（「線面平行面面平行」）
推論：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行.
（3）. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那麼它們交線平行.（「面面平行線線平行」）
（4）. 兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直判定二：如果一條直線與乙個平面垂直，那麼經過這條直線的平面垂直於這個平面.（「線面垂直面面垂直」）
（5）. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另乙個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直於第三平面，則它們交線垂直於第三平面.
5. 稜柱. 稜錐
（1）. 稜柱.
a.直稜柱側面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直稜柱的側面展開圖為矩形得出的.
斜稜住側面積：（是斜稜柱直截面周長，是斜稜柱的側稜長）該公式是利用斜稜柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
b..=.
c.稜柱具有的性質：
稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相等；直稜柱的各個側面都是矩形；正稜柱的各個側面都是全等的矩形.
稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
過稜柱不相鄰的兩條側稜的截面都是平行四邊形.
d.平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交於一點，並且在交點處互相平分.
[注]：四稜柱的對角線不一定相交於一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同乙個頂點的三條稜所成的角為，則 .
推論二：長方體一條對角線與同乙個頂點的三各側面所成的角為，則.
稜柱成為直稜柱的乙個必要不充分條件是稜柱有一條側稜與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）
（2）. 稜錐：稜錐是乙個面為多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形.
[注]：①乙個三稜錐四個面可以都為直角三角形.
②乙個稜柱可以分成等體積的三個三稜錐；所以.
a.①正稜錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.
b.稜錐具有的性質：①正稜錐各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正稜錐的斜高）.
②正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成乙個直角三角形，正稜錐的高、側稜、側稜在底面內的射影也組成乙個直角三角形.
c.特殊稜錐的頂點在底面的射影位置：
稜錐的側稜長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
稜錐的側稜與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
稜錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
稜錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
三稜錐有兩組對稜垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
三稜錐的三條側稜兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
每個四面體都有外接球，球心0是各條稜的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等於球半徑；
每個四面體都有內切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等於半徑.
（3）. 球：
a.球的截面是乙個圓面.
①球的表面積公式：.②球的體積公式：.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
錐體體積：（為底面積，為高）
6. 空間向量.
（1）. a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
d.①共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數對x、y使.
②空間任一點o和不共線三點a、b、c，則是pabc四點共面的充要條件.
（2）.a.空間向量的座標：空間直角座標系的x軸是橫軸（對應為橫座標），y軸是縱軸（對應為縱座標），z軸是豎軸（對應為豎座標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
，， ，
∥ 。。
(向量模與向量之間的轉化：)
空間兩個向量的夾角公式
（a＝，b＝）。
空間兩點的距離公式：.
b.法向量：若向量所在直線垂直於平面，則稱這個向量垂直於平面，記作，如果那麼向量叫做平面的法向量.
c.向量的常用方法：
利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點b到平面的距離為.
.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
③.利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.
二、典型例題
1．已知四稜錐的三檢視及直觀圖如下圖，其中俯檢視為正方形，點為稜的中點，
（1）在稜上是否存在一點，使得
平面？若存在，求線段的長度；
若不存在，說明理由；
（2）求二面角的大小．
解：（1）在稜pc上存在點f，使得ef⊥平面pbc。
由三檢視可知，ab⊥ad，ap⊥ab，ap⊥ad，以ab為x軸，以ad為y軸，以ap為z軸建立空間直角座標系，則b（2，0，0），c（2，2，0），d（0，2，0），e（0，1，0），p（0，0，2）設f（x,y,z）在pc上，滿足
由得，解得
……3分
若ef⊥面pbc，則即
即解得∴f存在，且為稜pc的中點， ef=。
（2）：設平面pce、平面pcd的乙個法向量分別是
則取…12分
所以二面角e—pc—d的大小為30°
2．如圖，在直角梯形p1dcb中，p1d∥cb，cd⊥p1d，p1d＝6，bc＝3，dc＝，a是p1d的中點，e是線段ab的中點，沿ab把平面p1ab折起到平面pab的位置，使二面角p－cd－b成45°角．
（1）求證：pa⊥平面abcd；
（2）求平面pec和平面pad所成的銳二面角的大小．
證明 ab∥dc， dc平面pad．
dcpd dcad， pda為二面角p－cd－b的平面角．
故pda＝45°pa＝ad＝3， apd＝45°． paad．
又paab ， pa平面abcd．
（ⅱ）證法一：延長da，ce交於點n，鏈結pn,
由摺疊知又．
，又由（１）知，
為二面角的平面角．
在直角三角形中，
，．即平面pec和平面pad所成銳二面角為30°．
證法二：如圖建立空間直角座標系，則
，設為平面的法向量，則
，可設，
又平面的法向量，
3、 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，
試判斷：點與是否一定共面？
解析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序實數對使或對空間任一點，有。
答案：由題意：，
∴，∴，即，
所以，點與共面．
點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然後對照形式將已知條件進行轉化運算．
知識點立體幾何
第九章直線平面簡單的幾何體 1.平面的性質 公理1 如果一條直線有兩個點在乙個平面內，那麼這條直線上所有點都在這個平面內。a l,b l，a b 公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，而且這些點都在同一條直線上 兩平面相交，只有一條交線 如圖 pab，pcd所在平面有乙個公共點p...
立體幾何知識點
一 基本知識點 1 空間直線與平面 1 空間直線 2 平面 3 直線與平面的位置關係 4 平面與平面的位置關係 2 空間幾何體 1 稜柱 有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫稜柱.稜柱性質 稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相...
立體幾何知識點歸納
1斜二測法 step1 在已知圖形中取互相垂直的軸ox oy，即取 step2 畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面 step3 在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸 或在x軸上 的線段保持長度不變，平行於y軸 或在y軸上 的線段長度減半...