７．知識網路
考點二證明空間線面平行與垂直
3. 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：ac 1//平面cdb1；∴；
4. （2007武漢3月）如圖所示，四稜錐p—abcd中，abad，cdad，pa底面abcd，pa=ad=cd=2ab=2，m為pc的中點。
(1)求證：bm∥平面pad；
(2)在側面pad內找一點n，使mn平面pbd；
(3)求直線pc與平面pbd所成角的正弦。
解法二：
（1）是的中點，取pd的中點，則
，又四邊形為平行四邊形
∥， 4分）
（2）由（1）知為平行四邊形
，又 同理，
為矩形 ∥，，又
作故交於，在矩形內，，
， 為的中點
當點為的中點時8分）
（3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設為，
直線與平面所成的角的正弦值為
5. （四川省成都市2007屆高中畢業班第三次診斷性檢測）如圖，四稜錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(ⅰ)求與底面所成角的大小；
(ⅱ)求證：平面；
(ⅲ)求二面角的余弦值.
6.）如圖，在長方體中，點**段上.
（ⅰ）求異面直線與所成的角；
（ⅱ）若二面角的大小為，求點到平面的距離..
8. (2007安徽·文) 如圖，在三稜錐中，，，是的中點，且，．
（i）求證：平面平面；
（ii）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．
答案:（ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，
，又底面．．於是平面．
又平面，平面平面．
（ⅱ） 過點在平面內作於，則由（ⅰ）知平面．
連線，於是就是直線與平面所成的角．
依題意，所以
在中，；
在中，，．，．
故當時，直線與平面所成的角為．
考點五摺疊、展開問題
9．（2023年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為
() 證明平面;
()若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,並求角的余弦值
解: ()證明:ef分別為正方形abcd得邊ab、cd的中點,
eb//fd,且eb=fd,
四邊形ebfd為平行四邊形
bf//ed.
,平面()如右圖,點a在平面bcde內的射影g在直線ef上,過點a作ag垂直於平面bcde,垂足為g,鏈結gc,gd
acd為正三角形, ac=ad.
cg=gd.
g在cd的垂直平分線上,點a在平面bcde內的射影g在直線ef上,
過g作gh垂直於ed於h,鏈結ah,則,所以為二面角a-de-c的平面角即.
設原正方體的邊長為2a,鏈結af,在折後圖的aef中,af=,ef=2ae=2a,即aef為直角三角形,.
在rtade中, .
,一、 強化訓練
（一） 選擇題
2．p為矩形abcd所在平面外一點，且pa⊥平面abcd，p到b，c，d三點的距離分別是，，，則p到a點的距離是
3．直角三角形abc的斜邊ab在平面α內，直角頂點c在平面α外，c在平面α內的射影為c1，且c1ab，則△c1ab為
（ａ）銳角三角形直角三角形鈍角三角形以上都不對
4．已知四點，無三點共線，則可以確定( )
a.1個平面b.4個平面 c.1個或4個平面d.無法確定
7．稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1被以a為球心，ab為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ）
abcd．π
11．一正四稜錐的高為2，側稜與底面所成的角為45°，則這一正四稜錐的斜高等於（ ）
a．2 b．2 c．4 d．2
2．【答案】a解析：設ab＝a，bc＝b，pa＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．
3．【答案】c解析：∵c1a2+c1b24．【答案】c.解析：
因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內，四個點確定乙個平面，當第四個點在α外，由公理3知可確定4個平面.故選c.
7．【答案】a．解析：s=π·12×3+×4π·12=π。
18. 如圖，是正四稜錐,是正方體，其中．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的tan大小；
（ⅲ）求到平面的距離．
19. 在四稜錐p-abcd中，底面abcd是矩形，側稜pa垂直於底面，e、f分別是ab、pc的中點．
（1）求證：平面pad；
（2）當平面pcd與平面abcd成多大二面角時，
直線平面pcd？
．21. 如圖，四邊形abcd是正方形，pb⊥平面abcd，ma//pb，pb=ab=2ma，
（ⅰ）證明：ac//平面pmd；
（ⅱ）求直線bd與平面pcd所成的角的大小；
（ⅲ）求平面pmd與平面abcd所成的二面角（銳角）的大小。
22. 已知斜三稜柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。
（i）求證：平面；
（ii）求到平面的距離；
（二） 創新試題
１．如圖，正三稜柱abc—a1b1c1中，d是bc的中點，aa1=ab=1.
（i）求證：a1c//平面ab1d；
（ii）求二面角b—ab1—d的大小；
（iii）求點c到平面ab1d的距離.
２. 如圖，已知正三稜柱abc—a1b1c1的各稜長都為a，p為a1b上的點。
（1）試確定的值，使得pc⊥ab；
（2）若，求二面角p—ab—c的大小；
（3）在（2）條件下，求c1到平面pac的距離。
專題 立體幾何題型與方法
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