平面解析幾何
2. 硬解定理內容
3. 結論與推論
第一部分圓錐曲線對比表
第一部分硬解定理內容
cgy-eh定理（圓錐曲線硬解定理）
若曲線與直線aχ+by+c=0相交於e、f兩點,則:
其中△『為一與△同號的值，
定理說明
應用該定理於橢圓時,應將代入。
應用於雙曲線時,應將代入
同時不應為零,即ε不為零。
求解y1+y2與 y1*y2只須將a與b的值互換且m與n的值互換.可知ε與'的值不會因此而改變。
定理補充
聯立曲線方程與y=kx+
是現行高考中比聯立」ax+by+c=0「更為普遍的現象。其中聯立後的二次方程是標準答案中必不可少的一項，x1+x2，x1x2都可以直接通過該方程與韋達定理求得，唯獨弦長的表示式需要大量計算。這裡給出乙個cgy-eh的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。
若曲線與直線y=kx+相交於e、f兩點,則:
這裡的既可以是常數，也可以是關於k的代數式。由這個公式我們可以推出：
若曲線為橢圓
,則若曲線為雙曲線
,則由於在高考中cgy-eh定理不可以直接應用，所以學生如此解答才可得全步驟分（省略號的內容需要考生自己填寫）：
聯立兩方程得……（二次式子）（*）
所以x1+x2=……①，x1x2=……②；
所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此時代入①、②式得到乙個大式子，但不必化簡）
化簡得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化簡)
下面就可求弦長
了。定理簡證
設曲線x^2/m+y^2/n=1①與直線 aχ+by+c=0②相交於e、f兩點，聯立①②式可得最終的二次方程：
(a^2 m+b^2 n) x^2+2acmx+c^2 m-mnb^2=0
應用韋達定理，可得:
x_1+x_2=(-2acm)/(a^2 m+b^2 n)
x_1 x_2=(m(c^2-b^2 n))/(a^2 m+b^2 n)
=4mnb^2 (ε-c^2)
對於等價的一元二次方程的數值不唯一,且的意義僅在於其與零的關係,故由4b^2>0恆成立,則可取與同號的'=mn(ε-c^2)作為的值。[3]
由|ef|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+a^2/b^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )
可得|ef|=√((a^2+b^2)4mn(a^2 m+b^2 n-c^2))/(|a^2 m+b^2 n|)
令ε=a^2 m+b^2 n 則得到cgy-eh定理:
x_1+x_2=(-2acm)/ε ; x_1 x_2=(m(c^2-b^2 n))/ε ; '=mn(ε-c^2) ; |ef|=(2√((a^2+b^2
第一部分結論與推論
一、橢圓的常用結論：
1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的外角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
6. 若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.
8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式, ( , ).
9. 設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的橢圓準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過橢圓乙個焦點f的直線與橢圓交於兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是橢圓的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
12. 若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是；
【推論】：
1、若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2、過橢圓(a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3、若p為橢圓（a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則.
4、設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為橢圓上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6、p為橢圓（a＞b＞0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.
7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.
8、已知橢圓（a＞b＞0），o為座標原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.
9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點f作直線交該橢圓右支於m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸於p，則.
10、已知橢圓（ a＞b＞0） ,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則.
11、設p點是橢圓（ a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2).
12、設a、b是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13、已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交於點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交於a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.
14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線於一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）
17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.
18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
二、雙曲線的常用結論：
1、點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的內角.
2、pt平分△pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3、以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
4、以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）
5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,）當在右支上時，,；當在左支上時，,。
9、設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的雙曲線準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10、過雙曲線乙個焦點f的直線與雙曲線交於兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11、ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過po的弦中點的軌跡方程是.
【推論】：
1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3、若p為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則（或）.
4、設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
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