2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數學（理科）
【詳解人】佛山市南海區石門中學黃偉亮
參考公式：
柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為柱體的高.
圓錐的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高.
一、選擇題
1.（複數）設為虛數單位，則複數（ ）
abcd.
解析：d..
2.（集合）設集合，，則（ ）
abcd.
解析：c..
3.（向量）若向量，，則（ ）
abcd.
解析：a..
4.（函式）下列函式中，在區間上為增函式的是（ ）
a. b. cd.
解析：a.在上是增函式.
5.已知變數、滿足約束條件，則的最大值為（ ）
a.12b.11c.3d.
解析：b.畫出可行域，可知當代表直線過點時，取到最大值.聯立，解得，所以的最大值為11.
6.（立體幾何）某幾何體的三檢視如圖1所示，它的體積為（ ）
ab.cd.
解析：c.該幾何體下部分是半徑為3，高為5的圓柱，體積為，上部分是半徑為3，高為4的圓錐，體積為，所以體積為.
7.（概率）從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取乙個，其個位數為0的概率是（ ）
abcd.
解析：d.兩位數共有90個，其中個位數與十位數之和為奇數的兩位數有45個，個位數為0的有5個，所以概率為.
8.對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則（ ）
ab.1cd.
解析：c. ， ，兩式相乘，可得.因為，所以、都是正整數，於是，即，所以.而，所以，，於是.
二、填空題
（一）必做題（9—13題）
9.（不等式）不等式的解集為
解析：.的幾何意義是到的距離與到0的距離的差，畫出數軸，先找出臨界「的解為」，然後可得解集為.
10.（二項式定理）的展開式中的係數為用數字作答）
解析：20.的展開式通項為，令，解得，所以的展開式中的係數為.
11.（數列）已知遞增的等差數列滿足，，則
解析：.設公差為（），則有，解得，所以.
12.曲線在點處的切線方程為
解析：.，所以切線方程為，即.
13.（演算法）執行如圖2所示的程式框圖，若輸入的值為8，則輸出的值為______.
解析：8.第一次迴圈，，，；第二次迴圈，，，；第三次迴圈，，，.此時退出迴圈，輸出的值為8.
（二）選做題（14—15題）
14.（座標系與引數方程）在平面直角座標系中，曲線和的引數方程分別為（為引數）和（為引數），則曲線與的交點座標為________.
解析：.法1：曲線的普通方程是（），曲線的普通方程是，聯立解得，所以交點座標為.
法2：聯立，可得，即，解得或（捨去），所以，交點座標為.
15.（幾何證明選講）如圖3，圓的半徑為1，、、是圓周上的三點，滿足，過點作圓的切線與的延長線交於點，則
解析：.連線，則，，因為，所以.
三、解答題
16.（三角函式）（本小題滿分12分）
已知函式（其中）的最小正週期為.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設、，，，求的值.
解析：（ⅰ），所以.
（ⅱ），所以.，所以.因為、，所以，，所以.
17.（概率統計）（本小題滿分13分）
某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：、、、、、.
（ⅰ）求圖中的值；
（ⅱ）從成績不低於80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數記為，求的數學期望.
解析：（ⅰ）由，解得.
（ⅱ）分數在、的人數分別是人、人.所以的取值為0、1、2.
，，，所以的數學期望是.
18.（立體幾何）（本小題滿分13分）
如圖5所示，在四稜錐中，底面為矩形，平面，點**段上，平面.
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）若，，求二面角的正切值.
解析：（ⅰ）因為平面，平面，所以.又因為平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.
（ⅱ）由（ⅰ）可知平面，而平面，所以，而為矩形，所以為正方形，於是.
法1：以點為原點，、、為軸、軸、軸，建立空間直角座標系.則、、、，於是，.
設平面的乙個法向量為，則，從而，令，得.而平面的乙個法向量為.所以二面角的余弦值為，於是二面角的正切值為3.
法2：設與交於點，連線.因為平面，平面，平面，所以，，於是就是二面角的平面角.
又因為平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，於是，而，於是二面角的正切值為.
19.設數列的前項和為，滿足， ，且、、成等差數列.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）證明：對一切正整數，有.
解析：（ⅰ）由，解得.
（ⅱ）由可得（），兩式相減，可得，即，即，所以數列（）是乙個以為首項，3為公比的等比數列.由可得，，所以，即（），當時，，也滿足該式子，所以數列的通項公式是.
（ⅲ）因為，所以，所以，於是.
點評：上述證法實質上是證明了乙個加強命題，該加強命題的思考過程如下.
考慮構造乙個公比為的等比數列，其前項和為，希望能得到，考慮到，所以令即可.由的通項公式的形式可大膽嘗試令，則，於是，此時只需證明就可以了.
當然，的選取並不唯一，也可令，此時，，與選取不同的地方在於，當時，，當時，，所以此時我們不能從第一項就開始放縮，應該保留前幾項，之後的再放縮，下面給出其證法.
當時，；當時，；當時，.
當時，，所以
. 綜上所述，命題獲證.
下面再給出的兩個證法.
法1：（數學歸納法）
①當時，左邊，右邊，命題成立.
②假設當（， ）時成立，即成立.為了證明當時命題也成立，我們首先證明不等式：（， ）.
要證，只需證，只需證，只需證，只需證，該式子明顯成立，所以.
於是當時，，所以命題在時也成立.
綜合①②，由數學歸納法可得，對一切正整數，有.
備註：不少人認為當不等式的一邊是常數的時候是不能用數學歸納法的，其實這是乙個錯誤的認識.
法2：（裂項相消法）（南海中學錢耀周提供）
當時，顯然成立.當時，顯然成立.
當時，，又因為，所以（），所以（），所以
. 綜上所述，命題獲證.
20.（解析幾何）（本小題滿分14分）
在平面直角座標系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點到點的距離的最大值為3.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）在橢圓上，是否存在點，使得直線：與圓：相交於不同的兩點、，且的面積最大？若存在，求出點的座標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.
解析：（ⅰ）因為，所以，於是.設橢圓上任一點，則（）.
當時，在時取到最大值，且最大值為，由解得，與假設不符合，捨去.
當時，在時取到最大值，且最大值為，由解得.於是，橢圓的方程是.
（ⅱ）圓心到直線的距離為，弦長，所以的面積為，於是.而是橢圓上的點，所以，即，於是，而，所以，，所以，於是當時，取到最大值，此時取到最大值，此時，.
綜上所述，橢圓上存在四個點、、、，使得直線與圓相交於不同的兩點、，且的面積最大，且最大值為.
點評：此題與2023年南海區高三8月摸底考試的試題相似度極高.
（2023年南海區高三8月摸底考試）已知橢圓的兩焦點為、，並且經過點.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）已知圓：，直線：，證明：當點在橢圓上運動時，直線與圓恆相交；並求直線被圓所截得的弦長的取值範圍.
21.（不等式、導數）（本小題滿分14分）
設，集合，，.
（ⅰ）求集合（用區間表示）；
（ⅱ）求函式在內的極值點.
解析：（ⅰ）考慮不等式的解.
因為，且，所以可分以下三種情況：
①當時，，此時，.
②當時，，此時，.
③當時，，此時有兩根，設為、，且，則，，於是
.當時，，，所以，此時；當時，，所以，，此時.
綜上所述，當時，；當時，；當時，；當時，.其中，.
（ⅱ），令可得.因為，所以有兩根和，且.
①當時，，此時在內有兩根和，列表可得
所以在內有極大值點1，極小值點.
②當時，，此時在內只有一根，列表可得
所以在內只有極小值點，沒有極大值點.
③當時，，此時（可用分析法證明），於是在內只有一根，列表可得
所以在內只有極小值點，沒有極大值點.
④當時，，此時，於是在內恆大於0，在內沒有極值點.
綜上所述，當時，在內有極大值點1，極小值點；當時，在內只有極小值點，沒有極大值點.當時，在內沒有極值點.
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