2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數學（理科）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設複數滿足，其中為虛數單位，則=
a． b. c
2．已知集合∣為實數，且，為實數，且，則的元素個數為
a．0 b．1 c．2 d．3
3．若向量ａ，ｂ，ｃ滿足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，則
a．4 b．3 c．2 d．0
4．設函式和分別是ｒ上的偶函式和奇函式，則下列結論恆成立的是
a．是偶函式b．是奇函式
c．是偶函式d．是奇函式
5.在平面直角座標系上的區域由不等式組給定。若為上的動點，點的座標為，則的最大值為
a． b． c．4 d．3
6．甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要在贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為
a． b． c． d．
7．如圖1－3，某幾何體的正檢視（主檢視）是平行四邊形，側檢視（左檢視）和俯檢視都是矩形，則幾何體的體積為
a． b． c． d．
8.設s是整數集z的非空子集，如果有，則稱s關於數的乘法是封閉的，若t,v是z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恆成立的是
a. 中至少有乙個關於乘法是封閉的
b. 中至多有乙個關於乘法是封閉的
c.中有且只有乙個關於乘法是封閉的
d. 中每乙個關於乘法都是封閉的
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。
9.不等式的解是
10. 的展開式中，的係數是用數字作答）
11、等差數列前9項的和等於前4項的和。若，則k
12、函式在x處取得極小值。
13、某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm。因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法**他孫子的身高為_____cm.
（2）選擇題（14---15題，考生只能從中選做一題）
14、（座標系與引數方程選做題）已知兩面線引數方程分別為和，它們的交點座標為
15.（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓於,且=7，是圓上一點使得=5，∠=∠, 則
3．解答題。本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
16. （本小題滿分12分）
已知函式,xr
(1)求的值；
(2)設, =, =,求的值。
四、（本小題滿分13分）
17.為了解甲、乙兩廠的產品質量，採用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）。
下表是乙廠的5件產品的測量資料：
（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品總數。
（2）當產品中的微量元素x,y滿足x≥175，y≥75,該產品為優等品。用上述樣本資料估計乙廠生產的優等品的數量。
（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，球抽取的2件產品中的優等品數的分布列極其均值（即數學期望）。
18.(本小題滿分13分)
在椎體p-abcd中，abcd是邊長為1的稜形，且∠dab=60，,pb=2, e,f分別是bc,pc的中點
（1）證明：ad 平面def
(2) 求二面角p-ad-b的余弦值
19.(本小題滿分14分)
設圓c與兩圓中的乙個內切，另乙個外切。
（1）求圓c的圓心軌跡l的方程
（2）已知點m，且p為l上動點，求的最大值及此時p的座標.
20.（本小題共14分）
設b>0,數列滿足a1=b，。
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：對於一切正整數n，
21.（本小題共14分）
在平面直角座標系xoy上，給定拋物線l:y=。實數p，q滿足，x1，x2是方程
的兩根，記。
（1）過點，，(p0≠0)作l的切線教y軸於點b。證明：對線段ab上任一點q(p，q)有；
（2）設m(a，b)是定點，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0。過設m(a，b)作l的兩條切線，切點分別為，與y軸分別交與f,。線段ef上異於兩端點的點集記為x。
證明：m(a,b) x
（3）設d=。當點(p,q)取遍d時，求的最小值 （記為）和最大值（記為）
2023年廣東高考理科數學參***
一、選擇題
二、填空題
10. 84； 11. 10； 12. 213. 185；
1415. ；
三、解答題
16．解：(1);
(2)，，又，，
，，又，，
.17．解：（1）乙廠生產的產品總數為；
（2）樣品中優等品的頻率為，乙廠生產的優等品的數量為；
（3）， ，的分布列為
均值.18.解：(1) 取ad的中點g，又pa=pd，，
由題意知δabc是等邊三角形，，
又pg, bg是平面pgb的兩條相交直線，，，
，(2) 由（1）知為二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
19．解：（1）兩圓半徑都為2，設圓c的半徑為r，兩圓心為、，
由題意得或，
，可知圓心c的軌跡是以為焦點的雙曲線，設方程為，則
，所以軌跡l的方程為．
（２）∵，僅當時，取＂＝＂，
由知直線，聯立並整理得解得或，此時
所以最大值等於2，此時．
20．解（１）法一：，得，
設，則，
（ⅰ）當時，是以為首項，為公差的等差數列，
即，∴（ⅱ）當時，設，則，
令，得， ，
知是等比數列，，又，
，．法二：（ⅰ）當時，是以為首項，為公差的等差數列，
即，∴（ⅱ）當時，，，，
猜想，下面用數學歸納法證明：
①當時，猜想顯然成立；
②假設當時，，則
，所以當時，猜想成立，
由①②知，，．
（２）（ⅰ）當時，，故時，命題成立；
（ⅱ）當時，，
，，以上n個式子相加得
，．故當時，命題成立；
綜上（ⅰ）（ⅱ）知命題成立．
21．解：（１），
直線ab的方程為，即，
，方程的判別式，
兩根或，
，，又，
，得，．
（２）由知點在拋物線l的下方，
①當時，作圖可知，若，則，得；
若，顯然有點； ．
②當時，點在第二象限，
作圖可知，若，則，且；
若，顯然有點；
．根據曲線的對稱性可知，當時， ，
綜上所述， （*）；
由（１）知點m在直線ef上，方程的兩根或，
同理點m在直線上，方程的兩根或，
若，則不比、、小，
，又，；又由（１）知， ；
，綜合（*）式，得證．
（３）聯立，得交點，可知，
過點作拋物線l的切線，設切點為，則，
得，解得，
又，即，
，設， ，
，又，；，，．
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