2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理工農醫類）（福建捲及詳解）
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．複數等於（ ）
abcd．
解析：=.2．數列的前項和為，若，則等於（ ）
a．1bcd．
解析：=，所以
，選b.
3．已知集合，且，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
解析：或，因為，所以，選c.
4．對於向量和實數，下列命題中真命題是（ ）
a．若，則或 b．若，則或
c．若，則或 d．若，則
解析：時也有，故a不正確；同理c不正確；由得不到b=c，如為零向量或與b、c垂直時，選b.
5．已知函式的最小正週期為，則該函式的圖象（ ）
a．關於點對稱b．關於直線對稱
c．關於點對稱d．關於直線對稱
由函式的最小正週期為得，由
得，對稱點為（，0）（），當k=1時為（，0），選a.
6．以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ）
ab．cd．
右焦點即圓心為（5，0），一漸近線方程為，即，，圓方程為，即a：，選a.
7．已知為上的減函式，則滿足的實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
由已知得解得或，選c.
8．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
a．b．
c．d．
a中m、n少相交條件，不正確；b中分別在兩個平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；c中n可以在內，不正確，選d.
9．把展開成關於的多項式，其各項係數和為，則等於（ ）
abcd．2
令=1得=1+2+22+……+2n=，
，選d.
10．頂點在同一球面上的正四稜柱中，，則兩點間的球面距離為（ ）
abc． d．
正四稜柱的對角線為球的直徑，由得r=1，
ac=，所以∠aoc=（其中o為球心）a、c兩點間的球面距離為，選b.
11．已知對任意實數，有，且時，，則時（ ）
ab．cd．
由已知為奇函式,影象關於原點對稱,在對稱區間的單調性相同; 為偶函式,在對稱區間的單調性相反, 時,遞增,當時, 遞增, ; 遞減, ,選b.
12．如圖，三行三列的方陣中有9個數，從中任取三個數，則至少有兩個數字於同行或同列的概率是（ ）
abcd．
從中任取三個數共有種取法，沒有同行、同列的取法有，至少有兩個數字於同行或同列的概率是，選d.
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置．
13．已知實數滿足則的取值範圍是________．
畫出可行域知在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，範圍是[-5，7].
14．已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為______．
設c=1，則.
15．兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數的數學期望
ξ的取值有0，1，2，
，所以eξ=
16．中學數學中存在許多關係，比如「相等關係」、「平行關係」等等．如果集合中元素之間的乙個關係「」滿足以下三個條件：
（1）自反性：對於任意，都有；
（2）對稱性：對於，若，則有；
（3）傳遞性：對於，若，，則有．
則稱「」是集合的乙個等價關係．例如：「數的相等」是等價關係，而「直線的平行」不是等價關係（自反性不成立）．請你再列出三個等價關係：______．
解析：．答案不唯一，如「圖形的全等」、「圖形的相似」、「非零向量的共線」、「命題的充要條件」等等．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在中，，．
（ⅰ）求角的大小；
（ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．
解析：(ⅰ),
.又,.
(ⅱ),
邊最大,即.
又,角最小,邊為最小邊.
由且,得.由得:.
所以,最小邊
18．（本小題滿分12分）
如圖，正三稜柱的所有稜長都為
，為中點．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）求點到平面的距離．
解析：(ⅰ)取中點,鏈結.
為正三角形,.
正三稜柱中,平面平面,
平面.鏈結,在正方形中,分別為的中點,
,. 在正方形中,,
平面.(ⅱ)設與交於點,在平面中,作於,鏈結,由(ⅰ)得平面.
,為二面角的平面角.
在中,由等面積法可求得,又,.
所以二面角的大小為.
(ⅲ)中,,.
在正三稜柱中,到平面的距離為.
設點到平面的距離為.
由得,.
點到平面的距離為.
(ⅰ)取中點,鏈結.
為正三角形,.
在正三稜柱中,平面平面,
平面.取中點,以為原點,,,的方向為軸的正方向建立空間直角座標系,則,,,,,
,,.,,
,.平面.
(ⅱ)設平面的法向量為,.,
令得為平面的乙個法向量.
由(ⅰ)知平面,
為平面的法向量.
,二面角的大小為.
(ⅲ)由(ⅱ),為平面法向量,
.點到平面的距離
19．（本小題滿分12分）
某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，並且每件產品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件．
（ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產品的售價的函式關係式；
（ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，並求出的最大值．
解：（ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函式關係式為：
．（ⅱ） 令得或（不合題意，捨去）．
，．在兩側的值由正變負．
所以（1）當即時，
．（2）當即時，，所以
答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．
20. （2023年福建理20）如圖，已知點f（1，0），直線l：＝－1，p為平面上的動點，過p作直線l的垂線，垂足為點q，且.
（1）求動點p的軌跡c的方程；
（2）過點f的直線交軌跡c於a、b兩點，交直線l於點m，已知，，求的值.
解析：(ⅰ)設點,則,由得:
,化簡得.
(ⅱ)設直線的方程為:
.設,,又,
聯立方程組,消去得:
,,故由,得:
,,整理得:,,.
(ⅰ)由得:,,,
.所以點的軌跡是拋物線,由題意,軌跡的方程為:.
(ⅱ)由已知,,得.
則:.…………①
過點分別作準線的垂線,垂足分別為,,
則有:.…………②
由①②得:,即.
21．（本小題滿分12分）
等差數列的前項和為．
（ⅰ）求數列的通項與前項和；
（ⅱ）設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
(ⅰ)由已知得,,
故.(ⅱ)由(ⅰ)得.
假設數列中存在三項(互不相等)成等比數列,則.即.,
.與矛盾.
所以數列中任意不同的三項都不可能成等比數列.
22．（本小題滿分14分）
已知函式
（ⅰ）若，試確定函式的單調區間；
（ⅱ）若，且對於任意，恆成立，試確定實數的取值範圍；
（ⅲ）設函式，求證：．
解析：(ⅰ)由得,所以.
由得,故的單調遞增區間是,
由得,故的單調遞減區間是.
(ⅱ)由可知是偶函式.
於是對任意成立等價於對任意成立.
由得.①當時,.
此時在上單調遞增.
故,符合題意.
②當時,.
當變化時的變化情況如下表:
由此可得,在上,.
依題意,,又.
綜合①,②得,實數的取值範圍是.
(ⅲ),,,
由此得,故.
2019高考數學試卷理科
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2023年高考數學試卷分析 理科
數學 理科 試卷分析 一 試卷結構及分值 全卷共150分，考試時間為120分鐘考試結構分為選擇題 60分 和非選擇題 90分 試卷結構如下表 二 具體題型分析 1 選擇題 1 7題為基礎知識的考察，需掌握定義和公式並能熟練運用。如 複數 集合 增減函式 概率等。8 12題考察的知識點比較深，需在熟練...
2019理科數學試卷
高2018屆成都七中 一診 數學模擬試題 數學試卷 本試卷滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項 1 本試卷分第i卷 選擇題 和第ii卷 非選擇題 兩部分。答卷前，考生務必先將自己的姓名 准考證號碼填寫在答題卡上。2 回答第i卷時，選出每小題的答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需...