2023年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）
數學（理工農醫類）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設集合，，則
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】 m= m∩n=.
【點評】本題考查了集合的基本運算，較簡單，易得分.
先求出,再利用交集定義得出m∩n.
2．命題「若，則」的逆否命題是
a．若，則 b．若，則
c．若，則 d．若，則
【答案】c
【解析】因為「若，則」的逆否命題為「若，則」，所以 「若α=，則tanα=1」的逆否命題是 「若tanα≠1，則α≠」.
【點評】本題考查了「若p，則q」形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力
3．某幾何體的正檢視和側檢視均如圖1所示，則該幾何體的俯檢視不可能是
abcd
【答案】d
【解析】本題是組合體的三檢視問題，由幾何體的正檢視和側檢視均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四稜柱，上面是圓柱或直四稜柱或下底是直角的三稜柱，ａ，ｂ，ｃ都可能是該幾何體的俯檢視，ｄ不可能是該幾何體的俯檢視，因為它的正檢視上面應為如圖的矩形.
【點評】本題主要考查空間幾何體的三檢視，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點題型
4．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關係，根據一組樣本資料，用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結論中不正確的是
a．y與x具有正的線性相關關係
b．回歸直線過樣本點的中心
c．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加kg
d．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為kg
【答案】d
【解析】【解析】由回歸方程為=0.85x-85.71知隨的增大而增大，所以y與x具有正的線性相關關係，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知，所以回歸直線過樣本點的中心（，），利用回歸方程可以**估計總體，所以d不正確.
【點評】本題組要考查兩個變數間的相關性、最小二乘法及正相關、負相關的概念，並且是找不正確的答案，易錯.
5．已知雙曲線的焦距為10 ，點在c的漸近線上，則c的方程為
a． b． c． d．
5.【答案】a
【解析】設雙曲線c ：-=1的半焦距為，則.
又c 的漸近線為，點p （2,1）在c 的漸近線上，，即.
又，，c的方程為-=1.
【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎知識，考查了數形結合的思想和基本運算能力，是近年來常考題型.
6．函式的值域為
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，，值域為[-,].
【點評】利用三角恒等變換把化成的形式，利用，求得的值域.
7．在中，，，，則
a． bcd．
【答案】a
【解析】由下圖知.
.又由餘弦定理知，解得.
【點評】本題考查平面向量的數量積運算、餘弦定理等知識.考查運算能力，考查數形結合思想、等價轉化思想等數學思想方法.需要注意的夾角為的外角.
8．已知兩條直線和，與函式的影象從左至右相交於點，與函式的影象從左至右相交於點．記線段ac和bd在軸上的投影長度分別為．當m變化時，的最小值為
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】在同一座標系中作出y=m，y=(m＞0)，影象如下圖，
由= m，得，= ，得.
依照題意得.
，.【點評】在同一座標系中作出y=m，y=(m＞0)，影象，結合影象可解得
二、填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對應題號後的橫線上．
（一）選做題（請考生在第9，10，11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）
9． 在直角座標系xoy中，已知曲線（t為引數）與曲線（為引數，）有乙個公共點在軸上，則
【答案】
【解析】曲線：直角座標方程為，與軸交點為；
曲線 ：直角座標方程為，其與軸交點為，
由，曲線與曲線有乙個公共點在x軸上，知.
【點評】本題考查直線的引數方程、橢圓的引數方程，考查等價轉化的思想方法等.曲線與曲線的引數方程分別等價轉化為直角座標方程，找出與軸交點，即可求得
10．不等式的解集為
【答案】
【解析】令，則由得的解集為.
【點評】絕對值不等式解法的關鍵步驟是去絕對值，轉化為代數不等式（組）
11．如圖2，過點的直線與⊙相交於兩點．若，
，，則⊙的半徑等於
【答案】
【解析】設交圓o於c，d，如圖，設圓的半徑為r，由割線定理知
【點評】本題考查切割線定理，考查數形結合思想，由切割線定理知，從而求得圓的半徑.
（二）必做題（12～16題）
12．已知複數（為虛數單位)，則
【答案】10
【解析】=，.
【點評】本題考查複數的運算、複數的模.把複數化成標準的形式，利用
求得13．的二項展開式中的常數項為用數字作答）
【答案】-160
【解析】( -)6的展開式項公式是.由題意知，所以二項展開式中的常數項為.
【點評】本題主要考察二項式定理，寫出二項展開式的通項公式是解決這類問題的常規辦法
14．如果執行如圖3所示的程式框圖，輸入，則輸出的數 ．
【答案】
【解析】輸入,n=3,，執行過程如下：；；，所以輸出的是.
【點評】本題考查演算法流程圖，要明白迴圈結構中的內容，一般解法是逐步執行，一步步將執行結果寫出，特別是程式框圖的執行次數不能出錯
15．函式的導函式的部分圖象如圖4所示，其中，為圖象與軸的交點，為圖象與軸的兩個交點，為圖象的最低點．
（1）若，點的座標為，則 ；
（2）若在曲線段與軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在內的概率為
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），當，點p的座標為（0，）時
；（2）由圖知，，設的橫座標分別為.
設曲線段與x軸所圍成的區域的面積為則，由幾何概型知該點在△abc內的概率為.
【點評】本題考查三角函式的影象與性質、幾何概型等，（1）利用點p在影象上求，
（2）幾何概型，求出三角形面積及麴邊形面積，代入公式即得.
16．設，將個數依次放入編號為的個位置，得到排列．將該排列中分別位於奇數與偶數字置的數取出，並按原順序依次放入對應的前和後個位置，得到排列，將此操作稱為變換．將分成兩段，每段個數，並對每段作變換，得到；當時，將分成段，每段個數，並對每段作變換，得到．例如，當時，，此時位於中的第4個位置．
（1）當時，位於中的第個位置；
（2）當時，位於中的第個位置．
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）當n=16時,
,可設為,
,即為,
,即, x7位於p2中的第6個位置,；
（2）方法同（1）,歸納推理知x173位於p4中的第個位置.
【點評】本題考查在新環境下的創新意識，考查運算能力，考查創造性解決問題的能力.
需要在學習中培養自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
某超市為了解顧客的購物量及結算時間等資訊，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關資料，如下表所示．
已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客佔55％．
（ⅰ）確定的值，並求顧客一次購物的結算時間的分布列與數學期望；
（ⅱ）若某顧客到達收銀台時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過分鐘的概率．（注：將頻率視為概率）
【解析】（1）由已知,得所以
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成乙個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的乙個容量隨機樣本，將頻率視為概率得
的分布為
x的數學期望為
.（ⅱ）記a為事件「該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘」，為該顧客前面第位顧客的結算時間，則
.由於顧客的結算相互獨立，且的分布列都與x的分布列相同，所以
.故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
【點評】本題考查概率統計的基礎知識，考查分布列及數學期望的計算，考查運算能力、分析問題能力.第一問中根據統計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客佔55％知
從而解得，計算每乙個變數對應的概率，從而求得分布列和期望；第二問，通過設事件，判斷事件之間互斥關係，從而求得
該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率
18．（本小題滿分12分）
如圖5，在四稜錐中，平面，，，，，是的中點．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四稜錐的體積．
【解析】
解法1（ⅰ如圖（1）），連線ac，由ab=4，，
ｅ是ｃｄ的中點，所以
所以而內的兩條相交直線，所以cd⊥平面pae.
（ⅱ）過點ｂ作
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