2023年遼寧高考理科數學試題逐題詳解 （純word解析版）
第ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
【2023年遼寧卷（理01）】已知全集，則集合（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】a∪b=，∴cu（a∪b）=，故選：d
【2023年遼寧卷（理02）】設複數z滿足，則（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
【解析】由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，
∴z=2+3i．故選：a
【2023年遼寧卷（理03）】已知，，則（ ）
a． b． c． d．
【答案】c
【解析】∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．故選：c
【2023年遼寧卷（理04）】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）
a．若則 b．若，，則
c．若，，則 d．若，，則
【答案】b
【解析】a．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故a錯；
b．若m⊥α，nα，則m⊥n，故b正確；
c．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故c錯；
d．若m∥α，m⊥n，則n∥α或nα或n⊥α，故d錯．故選b
【2023年遼寧卷（理05）】設是非零向量，學科網已知命題p：若，，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
【解析】若=0，=0，則=，即（﹣）=0，
則=0不一定成立，故命題p為假命題，
若∥，∥，則∥平行，故命題q為真命題，
則p∨q，為真命題，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都為假命題，故選：a
【2023年遼寧卷（理06）】6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的做法種數為（ ）
a．144 b．120 c．72 d．24
【答案】d
【解析】3人全排，有=6種方法，形成4個空，在前3個或後3個或中間兩個空中插入椅子，有4種方法，根據乘法原理可得所求坐法種數為6×4=24種．故選：d
【2023年遼寧卷（理07）】某幾何體三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】由三檢視知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的稜長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積v=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故選：b
【2023年遼寧卷（理08）】設等差數列的公差為d，若數列為遞減數列，則（ ）
a． b． c． d．
【答案】c
【解析】∵等差數列的公差為d，∴an+1﹣an=d，又數列為遞減數列，
∴=＜1，∴a1d＜0．故選：c
【2023年遼寧卷（理09）】將函式的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函式（ ）
a．在區間上單調遞減
b．在區間上單調遞增
c．在區間上單調遞減
d．在區間上單調遞增
【答案】b
【解析】把函式y=3sin（2x+）的圖象向右平移個單位長度，
得到的圖象所對應的函式解析式為：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
由，得．
取k=0，得．
∴所得圖象對應的函式在區間[，]上單調遞增．故選：b
【2023年遼寧卷（理10）】已知點在拋物線c：的準線上，學科網過點a的直線與c在第一象限相切於點b，記c的焦點為f，則直線bf的斜率為（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】∵點a（﹣2，3）在拋物線c：y2=2px的準線上，即準線方程為：x=﹣2，
∴p＞0，=﹣2即p=4，∴拋物線c：y2=8x，在第一象限的方程為y=2，
設切點b（m，n），則n=2，
又導數y′=2，則在切點處的斜率為，∴即 m=2m，解得=2（捨去），
∴切點b（8，8），又f（2，0），∴直線bf的斜率為，故選d
【2023年遼寧卷（理11）】當時，不等式恆成立，則實數a的取值範圍是（ ）
a． b． c． d． zxxk
【答案】c
【解析】當x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈r恆成立；
當0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，
令f（x）=，則f′（x）==﹣（*），
當0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
當﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤，
由（*）式可知，當﹣2≤x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
綜上所述，實數a的取值範圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數a的取值範圍是[﹣6，﹣2]．
【2023年遼寧卷（理12）】已知定義在上的函式滿足：
①；②對所有，且，有.
若對所有，，則k的最小值為（ ）
a． bc． d．
【答案】b
【解析】依題意，定義在[0，1]上的函式y=f（x）的斜率|k|＜，
不妨令k＞0，建構函式f（x）=（0＜k＜），
滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．
當x∈[0，]，且y∈[0，]時，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|
≤k|﹣0|=k×＜；
當x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|
=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；
當y∈[0，]，且y∈[，1]時，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；
當x∈[，1]，且y∈[，1]時，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|
=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；
綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，
∵對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜k恆成立，
∴k≥，即k的最小值為．故選：b
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
【2023年遼寧卷（理13）】執行右側的程式框圖，若輸入，則輸出
【答案】
【解析】由程式框圖知：第一次迴圈x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4＞1；
第二次迴圈x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；
第三次迴圈x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，
滿足條件|y﹣x|＜1，跳出迴圈，輸出y=．故答案為：
【2023年遼寧卷（理14）】正方形的四個頂點分別在拋物線和上，如圖所示，若將乙個質點隨機投入正方形abcd中，學科網則質點落在陰影區域的概率是
【答案】
【解析】∵a（﹣1，﹣1），b（1，﹣1），c（1，1），d（﹣1，1），
∴正方體的abcd的面積s=2×2=4，
根據積分的幾何意義以及拋物線的對稱性可知陰影部分的面積 s=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，
則由幾何槪型的概率公式可得質點落在圖中陰影區域的概率是．故答案為：
【2023年遼寧卷（理15）】已知橢圓c：，點m與c的焦點不重合，若m關於c的焦點的對稱點分別為a，b，線段mn的中點在c上，則zxxk
【答案】12
【解析】如圖：mn的中點為q，易得，，
∵q在橢圓c上，∴|qf1|+|qf2|=2a=6，∴|an|+|bn|=12．
【2023年遼寧卷（理16）】對於，當非零實數a，b滿足，且使最大時，的最小值為
【答案】﹣2
【解析】∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=
由柯西不等式得，
=|2a+b|2故當|2a+b|最大時，有
∴∴﹣+===，
當b=時，取得最小值為﹣2．故答案為：﹣2
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
【2023年遼寧卷（理17）】（本小題滿分12分）
在中，內角a，b，c的對邊a，b，c，且，已知，，，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
（ⅰ）由得，，又，所以ac=6.
由餘弦定理，得.
又b=3，所以.
解，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因為a>c,∴ a=3，c=2.
（ⅱ）在中，
由正弦定理，得，又因為，所以c為銳角，因此.
於是=.
【2023年遼寧卷（理18）】（本小題滿分12分）
一家麵包房根據以往某種麵包的銷售記錄，繪製了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，並假設每天的銷售量相互獨立.
（1）求在未來連續3天裡，有連續2天的日銷售量都不低於100個且另一天的日銷售量低於50個的概率；
（2）用x表示在未來3天裡日銷售量不低於100個的天數，求隨機變數x的分布列，期望及方差.
（ⅰ）設表示事件「日銷售量不低於100個」，表示事件「日銷售量低於50個」，b表示事件「在未來連續3天裡有連續2天日銷售量不低於100個且另一天的日銷售量低於50個」.因此..
.（ⅱ）x的可能取值為0,1,2,3.相應的概率為,,
,,分布列為
因為x~b(3,0.6),所以期望為e(x)=3×0.6=1.8，方差d（x）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
【2023年遼寧卷（理19）】（本小題滿分12分）
如圖，和所在平面互相垂直，且，，e、f分別為ac、dc的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.
（ⅰ）證明：
（方法一）過e作eo⊥bc，垂足為o，連of，
由△abc≌△dbc可證出△eoc≌△foc，所以∠eoc=∠foc=，即fo⊥bc，
又eo⊥bc，因此bc⊥面efo，
又ef面efo，所以ef⊥bc.
（方法二）由題意，以b為座標原點，在平面dbc內過b左垂直bc的直線為x軸，bc所在直線為y軸，在平面abc內過b作垂直bc的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角座標系.
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