2023年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）
數學（理工農醫類）
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁. 時量120分鐘. 滿分150分.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 滿足（為虛數單位）的複數b 】
a. b. c. d.
【解析】由題意,選b
【考點定位】複數：複數四則運算.
2. 對乙個容量為的總體抽取容量為的樣本,當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為,則【 d 】
a. b. c. d.
【解析】簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣都是等概率抽樣, ,選d.
【考點定位】統計：隨機抽樣.
3. 已知分別是定義在上的偶函式和奇函式，且，則c 】
a. b. c. d.
【解析】由題意,選c
【考點定位】函式：函式的奇偶性.
4.的展開式的係數是a 】
a. b. c. d.
【解析】通項,則時, ,選a.
【考點定位】二項式定理.
5. 已知命題：若，則；命題：若，則. 在命題
中，真命題是c 】
a. ①③ b. ①④ c. ②③ d. ②④
【解析】命題為真命題,當命題為假命題,所以為真命題,故選c.
【考點定位】常用邏輯用語：邏輯聯結詞；不等式性質.
6. 執行如圖1所示的程式框圖，如果輸入的，
則輸出的屬於d 】
a. b.
c. d.
【解析】當時,執行程式如下,
,當時, ,
則,故選d.
【考點定位】演算法：程式框圖；二次函式.
7. 一塊石材的幾何體三檢視如圖2所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等於b 】
a. b.
c. d.
【解析】由圖可得該幾何體為三稜柱,
所以最大球的半徑為正檢視直角三角
形內切圓的半徑,
則,故選b.
【考點定位】立體幾何：三檢視；內切圓；球.
8. 某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為d 】
a. b. c. d.
【解析】設前兩年的平均增長率為,則有【考點定位】函式應用題
9. 已知函式，且，則函式的影象的一條對稱軸是
a 】 a. b. c. d.
【解析】法一：由,
所以或，即.
則是其中一條對稱軸.故選a.
法二：由定積分的幾何性質與三角函式圖象可知是函式的乙個對稱中心，所以,所以.故選a.
【考點定位】三角函式：三角函式影象與性質，定積分的幾何意義.
10. 已知函式與的影象上存在關於軸對稱的點，則的取值範圍是b 】
a. b. c. d.
【解析】由題可得函式的影象上存在點關於軸對稱的點在函式的影象上，
從而有,即.
問題等價於函式在存在零點,
法一：,在單調遞增，
當時，，要使在存在零點，則，
從而法二：問題等價於函式與
的圖象在有交點,在同一座標系中作出這兩個函式的圖象，當的圖象在左右平移的過程中，
即可，即，
【考點定位】函式：指、對數函式；方程.
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.
（一）選做題：在11,12,13三題中任選兩題作答，如果全做，則按全兩題記分.
11. 在平面直角座標系中，傾斜角為的直線與曲線（為引數）交於兩點，且，以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，則直線的極座標方程是
【答案】
【考點定位】極座標與引數方程.
12. 如圖3，已知是的兩條弦，，
則的半徑等於
【答案】
【考點定位】幾何證明選講：垂徑定理，相交弦定理，射影定理.
13. 若關於的不等式的解集為，則
【答案】
【解析】由題可得,故填.
【考點定位】不等式選講：絕對值不等式的解法.
（二）必做題（14~16題）
14. 若變數滿足約束條件，且的最小值為，則
【答案】
【解析】求出約束條件中三條直線的交點為,
且的可行域如圖,
所以,則當為最優解時, ,
當為最優解時, ,
因為,所以,故填.
【考點定位】線性規劃
15. 如圖4，正方形和正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經過兩點，則
【答案】
【解析】由題可得,
則.【考點定位】拋物線
16. 在平面直角座標系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是
【答案】
【解析】動點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，可設的座標為，則.
，其中，
當時，的取到最大值.
【考點定位】平面向量，三角函式性質，引數方程，圓.
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為和. 現安排甲組研發新產品，乙組研發新產品. 設甲、乙兩組的研發相互獨立.
（ⅰ）求至少有一種新產品研發成功的概率；
（ⅱ）若新產品研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品研發成功，預計企業可獲利潤100萬元. 求該企業可獲利潤的分布列和數學期望.
【解析】記甲組研發新產品成功，乙組研發新產品成功.由題設知
且與，與，與，與都相互獨立.
（ⅰ）記至少有一種新產品研發成功，則,於是
,故所求的概率為
.（ⅱ）設企業可獲利潤為，則的可能取值為0,100,120,220.因
故所求的分布列為
數學期望為
.18.（本小題滿分12分）
如圖5，平面四邊形中，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的長.
【解析】（ⅰ）如圖5，在中，由餘弦定理，得
故由題設知，
（ⅱ）如圖5，設，則,
因為,，
所以,於是在中，由正弦定理，故
【考點定位】三角函式：解三角形.
19.（本小題滿分12分）
如圖6，四稜柱的所有稜長都相等， 四邊形和四邊形均為矩形.
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）若，求二面角的余弦值.
【解析】（ⅰ）如圖（a），因為四邊形為矩形，所以，同理.
因為，所以，而，因此平面,
由題設知，故平面.
（ⅱ）解法1：如圖（a），過作於，連線.
由（ⅰ）知，平面，所以平面
於是,又四稜柱的所有稜長都相等，
所以是菱形，因此,從而平面
所以,於是平面，進而,
所以為二面角的平面角,
不妨設,因為，所以
在中，易知,又.於是,故.
即二面角的余弦值為.
解法2：因為四稜柱的所有稜長都相等，所以是菱形，
因此,又平面，從而兩兩垂直.
如圖（b）,以所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角座標系，不妨設,
因為，所以
於是相關各點的座標為
易知，是平面平面的乙個法向量.
設是平面的乙個法向量，
則，即取，則，所以.
設二面角的大小為，易知是銳角，於是
.二面角的余弦值為.
【考點定位】立體幾何：線面垂直，二面角.
20.（本小題滿分13分）
已知數列滿足
（ⅰ）若數列是遞增數列，且成等差數列，求的值；
（ⅱ）若，且是遞增數列，是遞減數列，求數列的通項公式.
【解析】（ⅰ）因為數列是遞增數列，而，因此
又成等差數列，所以，因而得.解得
當時，，這與是遞增數列矛盾，故.
（ⅱ）是遞增數列，因而，於是
①但，所以
②由①，②知，，因此
③因為是遞減數列，同理可得，故
④由③，④知， 於是.
數列的通項公式為.
【考點定位】數列：等差數列，等比數列，遞推數列.
21.（本小題滿分13分）
如圖7，為座標原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，且.
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）過作的不垂直於軸的弦，為
的中點，當直線與交於兩
點時，求四邊形面積的最小值.
【解析】（ⅰ）因為所以即，因此
從而，於是，所以，
故橢圓方程為,雙曲線的方程為.
（ⅱ）因為直線不垂直於軸且過點，故課設直線的方程為.
由得易知此方程的判別式大於0.設，則是上述方程的兩個實根，所以
因此，的中點為，故
直線的斜率為，的方程為，即.
由得，所以從而
設點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，所以
因為點在直線的異側，所以，於是,從而
又因為，所以
四邊形面積
而，故當時，取得最小值2.
四邊形面積的最小值為2.
【考點定位】解析幾何：橢圓，雙曲線，直線與圓錐曲線位置關係.
22.（本小題滿分13分）
已知常數，函式.
（ⅰ）討論在區間上的單調性；
（ⅱ）若存在兩個極值點，且，求的取值範圍.
【解析】（ⅰ）,（*）
因為,所以當時,
當時, ,此時，函式在單調遞增,
當時,（捨去），
當時，；當時，.
故在區間單調遞減,在單調遞增的.
綜上所述
當時, ,此時，函式在單調遞增,
當時,在區間上單調遞減,在上單調遞增的.
（ⅱ）由（*）式知，當時，函式不存在極值點，因而要使得有兩個極值點，必有，又的極值點只可能是和，
且由的定義可知，且，所以，，解得，此時，（*）式知,分別是的極小值點和極大值點，而
令，由且知
當時, 當時,記
（ⅰ）當時，，所以
因此，在上單調遞減，從而，
故當時，
（ⅱ）當時，，所以
因此，在上單調遞減，從而，
故當時，
綜上所述，滿足條件的的取值範圍是為.
【考點定位】函式與導數：應用導數研究函式單調性與極值，不等式.
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