練習1、 利用數列極限的定義證明.
（1）證明：
（2）證明：
（3）證明：
（4）證明：
（5）證明：
（6）證明：
（7）證明：
（8）證明：
（9）證明：
（10）
證明：（11）
證明：（12）
證明：（13）
證明： 當時，存在，對時，有
（14）
證明：（15）
證明：由故對上述，取，有
.（16）
證明：（17）
證明：（18）
證明：（19）
證明：設，則，所以. 因此有
, 有（20）
證明：，有
2．證明下列數列是收斂的。
（1）證明：遞增，又因為
故單調有界，收斂.
（2）證明：，所以減少.又
所以有下界，收斂.
（3）證明：遞增，又因為
故是單調有界的，收斂.
（4）證明：遞增，又因為
故是單調有界的，收斂.
（5）證明：，又
故是單調有界的，收斂.
（6）證明：遞增，又因為
由得 ，故單調有界，收斂.
（7）證明：
，所以，減少，又，有下界，收斂.
（8）證明：，遞減，又因為
故單調有界，收斂.
（9）證明：，有
（10）
證明：由，所以.
3．證明數0和1不是下列數列的極限。
（1）證明：
（2）證明：
（3）證明：
4．證明下列數列沒有極限.
（1）證明：
，故存在不收斂於同一數的兩子列，所以數列沒有極限.
（2）證明：
，故存在不收斂於同一數的兩子列，所以數列沒有極限.
（3）證明：
，故存在不收斂於同一數的兩子列，所以數列沒有極限.
（4）證明：
，故存在不收斂於同一數的兩子列，所以數列沒有極限.
（5）證明：
（6）證明：
，故存在不收斂於同一數的兩子列，所以數列沒有極限.
（7）證明：
（8）證明：
（9）證明：存在對任意，存在正整數， ，有
（10）
證明：5．已知，求
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
（7）解：
（8）解：
6、已知，試證明下列等式成立.
（1）證明：由
（2）證明：當時，使得，有；若，由
，於是（3）證明： 則， 可得，，故
，有，則
（4）證明：，則
（5）證明：
（6）證明：
7、求下列極限.
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
（1112）
（1314）
（1516）
（1718）
（19） （20）
（2122）
（2324）
（2526）
（2728）
解：（1），（2）0，（3）0，（4），（5），（6），（7）0，（8）1，
（9），（10）1，（11），（12），（13）1，（14）-1，（15），（16）（17）0，（18），（19），（20）-1，（21）1，（22）0，（23）0，（24）5，（25），（26），（27），（28）0.
（18）
（19）
8、證明：
（1）證明：令， 得，取，則
有，即當時，遞減，又因為，有下界，故存在極限，記為，對兩端取極限，得.
（2）證明：當時，，記，由貝努利不等式得
所以，即，有.
當, 則，綜上，.
（3）證明：，所以遞減，又因為，有下界，故存在極限，記為，對兩端取極限，得.
（4）證明：證明: 設，有，則
（5）證明：令，，得，取
，則有，即當時，遞減，又因為，有下界，故存在極限，記為，對兩端取極限，得.
（6）證明：當時，
由，知9、求極限.
（1解：原式=
（2）解：原式=
（3解：原式=
（4）解：原式=
（5解：原式=
所以（6）解：原式=
（7）解：原式=
（8）解：原式=
（9）解：原式=
（10）
解：原式
（11解：原式=
（12）
解：原式=
（13）
解：原式==3
（14）
解：原式=
（15解：原式=
（16）
解：由所以.
10、求極限.
（1解：原式=
（2）解：原式=
（3解：原式=
（4）解：原式=
（5解：原式=
（6）解：原式由1.1練習題32(4)
（7）解： （8）
解： （9）
解：原式=
（10）
解：原式=
（11）
解：原式=
（12）
解：原式=
（13）
解：11、證明下列數列有極限並求極限.
（1）證明：.
因為，則
所以，遞增數列. 極限存在，設為，對兩端取極限，有，得.
（2）證明：因為，所以，故. 又，所以遞減數列， 極限存在，設為，對兩端取極限，有，得.
（3）證明：，由遞推關係可知. 因為，設
，那麼, 遞增數列.，設，則，即.極限存在，設為，對兩端取極限，有，得.
（4）證明：，由遞推關係可知. 又
又因為，所以為遞減數列，極限存在，設為，對兩端取極限，有，得.
（5）證明：，顯然., 設，
，， 所以，即當時，遞減，故極限存在，設為，有，得.
12、設與是任意正數且. 證明：數列
收斂於. 並利用這一結論求下列各數的近似值.
（1） 精確到
（2） 精確到
（3） 精確到
證明：顯然，又因為，所以. 又
， 有，遞減，有下界，故極限存在，設為，有 .
（1） 取,當時,;
（2） 取,當時,;
（3）取,當時,
13、求極限.
（1解：原式=
（2）解：原式=
（3解：
（4）解：原式=
（5）解：原式=
（6）解：原式=
（7解：原式=
（8）解：原式=
14、試證明下列數列或發散到或，或為無窮大數列.
（1）證明：，即
（2）證明：
，即（3）
證明：，，即
（4）證明：，，有，即
（5）證明：，為無窮大數列.
（6）證明：
（7）證明：, 有，為無窮大數列.
（8）證明：，為無窮大數列.
（9）證明： 由知
所以為無窮大數列.
（10）
證明：由（9）知，所以為無窮大數列.
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