求通項公式
一、觀察法例1：根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式：
（1）9，99，999，9999，… （2） （3解：（1） （2） （3）
二、公式法例1. 等差數列是遞減數列，且=48，=12，則數列的通項公式是（ d ） (a) (b) (c) (d)
例2. 已知等比數列的首項，公比，設數列的通項為，求數列的通項公式。
當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的通項公式，只需求得首項及公差公比。
三、疊加法例3：已知數列6，9，14，21，30，…求此數列的乙個通項。
點評：一般地，對於型如類的通項公式，只要能進行求和，則宜採用此方法求解。
例4. 若在數列中，，，求通項。=
四、疊乘法例：在數列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表示式。
點評：一般地，對於型如=(n)·類的通項公式，當的值可以求得時，宜採用此方法。
五、sn法利用 (≥2)
例5：已知下列兩數列的前n項和sn的公式，求的通項公式。（1）。 （2）
∴=3為所求數列的通項公式。
點評：要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然後驗證能否統一。
數列求和方法：
1.公式法：
等差數列求和公式：sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式
3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
sn =a1+ a2+ a3+...... +an sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1
前後相加得到2sn 即 sn= （a1+an)n/2
4.分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.例如：an=2^n+n-1
5.裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意： 餘下的項具有如下的特點1餘下的項前後的位置前後是對稱的。2餘下的項前後的正負性是相反的。
7.通項化歸
先將通項公式進行化簡，再進行求和。如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8.併項求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（併項） 求出奇數項和偶數項的和，再相減。
方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
高考例題
1.(2023年廣東卷文)已知等比數列的公比為正數，且·=2，=1，則=（b）
a. b. c. d.2
【解析】設公比為,由已知得,即,又因為等比數列的公比為正數，所以,故,選b
2.（2009廣東卷理）已知等比數列滿足，且，則當時
abcd.
【解析】由得，，則， ，選c
3.（2009安徽卷文）已知為等差數列，，則等於 ( b )
a. -1 b. 1 c. 3 d.7
【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選b。
4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項, ,則等於a. 18b. 24c. 60 d. 90 .
【解析】由得得,再由得則,所以,. 選c
5.（2009湖南卷文）設是等差數列的前n項和，已知，，則等於【 c 】
a．13b．35c．49d． 63
解: 故選c.
或由, 所以故選c.
6.（2009福建卷理）等差數列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等於( c)
a．1bc.- 2d 3
[解析]∵且.故選c .
7.（2009遼寧卷文）已知為等差數列，且－2＝－1, ＝0,則公差d＝
（a）－2 （b）－ （c） （d）2
【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 d＝－ 【答案】b
8.（2009遼寧卷理）設等比數列的前n 項和為 ，若 =3 ，則
（a） 2 （b） （cd）3
【解析】設公比為q ,則＝1＋q3＝3 q3＝2
於是答案】b
9.（2009寧夏海南卷理）等比數列的前n項和為，且4，2，成等差數列。若=1，則=
（a）7 （b）8 （3）15 （4）16
解析：4，2，成等差數列，,選c.
10.（2009四川卷文）等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和是
a. 90b. 100 c. 145d. 190
【答案】b
【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100
11.（2009湖北卷文）設記不超過的最大整數為,令{}=-，則{}，,
a.是等差數列但不是等比數列b.是等比數列但不是等差數列
c.既是等差數列又是等比數列d.既不是等差數列也不是等比數列
【答案】b
【解析】可分別求得，.則等比數列性質易得三者構成等比數列.
14.（2009重慶卷文）設是公差不為0的等差數列，且成等比數列，則的前項和
a． b． c． d．
【答案】a
解析設數列的公差為，則根據題意得，解得或（捨去），所以數列的前項和
15.（2009安徽卷理）已知為等差數列，++=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是
（a）21 （b）20 （c）19 （d） 18
[解析]：由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，選b
17.（2009四川卷文）等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和是
a. 90b. 100 c. 145d. 190 .
【答案】b
【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100
二、填空題
1.（2009全國卷ⅰ理） 設等差數列的前項和為，若,則
解: 是等差數列,由,得
2.（2009浙江理）設等比數列的公比，前項和為，則
答案：15
【解析】對於
3.（2009北京文）若數列滿足：，則前8項的和用數字作答）
，易知，∴應填255.
4.(2009山東卷文)在等差數列中,,則.
【解析】:設等差數列的公差為,則由已知得解得,所以答案:13.
5.（2009全國卷ⅱ文）設等比數列{}的前n項和為。若，則
解析：由得q3=3故a4=a1q3=3。 答案：3
6.（2009全國卷ⅱ理）設等差數列的前項和為，若則 9
解：為等差數列，
7.（2009遼寧卷理）等差數列的前項和為，且則
【解析】∵sn＝na1＋n(n－1)d .
∴s5＝5a1＋10d,s3＝3a1＋3d
∴6s5－5s3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4
【答案】
8.（2009陝西卷文）設等差數列的前n項和為,若,則
解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.
9.（2009寧夏海南卷文）等比數列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項和答案】
【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。
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練習1 利用數列極限的定義證明.1 證明 2 證明 3 證明 4 證明 5 證明 6 證明 7 證明 8 證明 9 證明 10 證明 11 證明 12 證明 13 證明 當時，存在，對時，有 14 證明 15 證明 由故對上述，取，有 16 證明 17 證明 18 證明 19 證明 設，則，所以.因...
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數列解題方法集錦
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