求數列的通項公式的常用方法
一、觀察法：給出前幾項（或用圖形給出），求通項公式。一般從以下幾個方面考慮：
①符號相隔變化用來調節。
②分式形式的數列，注意分子、分母分別找通項，並注意分子與分母的聯絡。
③分別觀察奇數項與偶數項的變化規律，用分段函式的形式寫出通項。
④觀察是否與等差數列和等比數列相聯絡。
⑤分析相鄰項的關係。
【例1】根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的乙個通項公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 332
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 14) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
練習：1.根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的乙個通項公式：
（1）1,3,7,15,312）1,11,111,1111，……；
（34），……；
（5）9,99,999,99996），……；
（7）……；
2．如圖,這是乙個正六邊形的序列,則第(n)個圖形的線段數為（ ）.
a. 5n-1b. 6nc. 5n+1d.4n+2
3、數列的乙個通項公式是( ).
a． b． c． d．
二、定義法：數列為等差（或等比）數列
如果已知數列為等差（或等比）數列，求得首項，公差d（或公比q），可直接根據等差（或等比）數列的通項公式，從而直接寫出通項公式。
等差數列等比數列
三、已知，求。利用公式求通項。
四、由遞推關係求出數列的通項公式
通過遞推關係求出數列的通項公式，是解決數列問題時經常遇到的，這類問題的處理方法是向特殊數列轉化，利用特殊數列的性質求數列的通項公式，下面提供幾類有規律的變形。
1. 型：利用迭加的方法直接求解或利用迭加，迭代法得：
，然後求解。
例1、數列中，若，，求數列的通項公式。
解：[**
練習：（2008江西理5）在數列中，，，則等於
abcd.
2. 型： 利用迭乘或迭代法可得：
例2 數列的前n項的和為，且1，，求數列的通項公式
解： 練習：已知為首項為1的正項數列，且
則3. （為常數且）型：可化為=求出的表示式，再求
例3 數列中，當時其前項和滿足，求數列的通項公式。
解： 這種型別還有如：可採用取倒數方法轉化成為形式利用後面的第四類方法解決；又如已知數列中且，求數列的通項公式可採用兩邊取對數方法即則數列是以為首項，為公比的等比數列。
4. （為p,q為常數且）型[**:z#xx#
（ⅰ）可化為，利用等比數列求出的表示式，進而求出
（ⅱ）可由得兩式相減可得： ，利用成等比數列求出，再利用迭代或迭加求出
（ⅲ）利用迭代法可得： 求和得
例4 數列中， 求數列
解：5. （為常數且）型：
（ⅰ）可化為，利用第四種型別求出後解出；
例5 數列中， ，求數列的通項公式。
解：6. 型：可變形為就是則可從， 解得於是是公比為的等比數列，這樣就轉化為型別五。
例6 數列中，，求數列的通項公式。
解：在兩邊減去得， 是以為首項，以為公比的等比數列，
令上式，再把個等式累加得:
==練習題：
1．數列3，7，13，21，31，…，的乙個通項公式為（ ）
a． b． c． d．不存在
2．在數列中，， ，則（ ）
ab. cd.
3．數列中，a1=1，對於所有的，都有，則等於（ ）
abcd.
4．下列各式中，可以作為數列的通項公式的是（ ）
a． b． c． d．
5．在數列中，，，則（ ）
a．3b．4c．5d．6
6．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數;類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數成為正方形數。下列數中即是三角形數又是正方形數的是（ ）
a．289 b．1024 c．1225 d．1378
7．數列的前n項和，而，通過計算，，猜想（ ）
a． b． c． d．
8．數列中，，則數列｛an｝的通項公式是（ ）
abcd．
9．數列中，若，且，則的值是________.
10．數列滿足：，則
11．已知數列滿足，，，且，
則數列的通項公式是____ __。
12．已知數列的前n項和，， ，通過計算，可以猜想
13．已知數列滿足
（1）求的值；（2）證明：數列是等比數列；（3）求數列的通項公式；
14．已知數列的前n項和為，且，數列滿足，
求，15．已知數列滿足：，且
（1）求的值；（2）若數列為等差數列，求常數的值；（3）求數列的通項。
16．已知數列的前n項和為，且對任意正整數都有．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求．
17.設數列的前項和為已知
（1）設，證明數列是等比數列 （2）求數列的通項公式。
18.已知數列的前n項和為，點在曲線上，且. （1）求數列的通項公式；
（2）數列的首項，前項和為，且滿足，
求數列的通項公式；
（3）（理科）求證：.
《求數列通項公式》練習題參考解答
1~8 ccacb cba
解析：3．解析一：令n=2、3、4、5，分別求出a3=，a5=，∴a3+a5=.
解析二：當n≥2時，a1·a2·a3·…·an=n2.當n≥3時，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.
兩式相除an=（）2，∴a3=，a5=.∴a3+a5=. 答案：a
6．由圖形可得三角形數構成的數列通項，同理可得正方形數構成的數列通，則由可排除a、d，又由知必為奇數，故選c.
8．法一：代入檢驗法，當時，只有選項a滿足，故選a。
法二：由已知有，則是首項為1，公差為3的等差數列，
則，即二、填空題：
9． .10．_
11． 12．
解析：[**:學|科|網]
9．因，則，故
12．，則
，又則，同理：，，故
三、解答題
13．（1）解：
（2）證明：
又，，則是以為首項，3為公比的等比數列
（3）由（2），則時，故
又適合上式，故，
14．解：由，得；
當時，， ，則
故是首項為1，公比為2的等比數列，則
由，得，其中
因為適合上式，故（）
15．解：（1）
[**，得（2） 依題設 ， ，
若數列為等差數列，則，
化簡得：，則經檢驗，時，為等差數列，故
（3）由（2）可知，存在常數，使為等差數列，且公差，又則，即
16．解：（ⅰ） 在2sn＝（n＋2）an－1中，令n＝1，求得a1＝1．∵ 2sn＝（n＋2）an－1，∴ 2sn－1＝（n＋1）an－1－1．
當n≥2時，兩式相減得：2（sn－sn－1）＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，
即 2 an＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，整理得，．
∴ ＝＝
當n＝1時， ＝，滿足上式，∴ ＝.
（ⅱ）由（ⅰ）知＝，則＝＝2（－）．
∴ ＝2
＝2（＋－－）．
17.解：（i）由及，有
由，．．．① 則當時，有．．．．．②
②－①得
又，是首項，公比為２的等比數列．
（ii）由（i）可得，
數列是首項為，公差為的等比數列． ，
18.解：(1)∴ ∴ ∴數列是等差數列，首項公差
(2) 由，
得∴ 則數列是首項為1，公差為1的等差數列。
∴ ∴則時，，又適合此式∴
(3) ∴
∴ 求數列的通項公式的常用方法
一、觀察法：給出前幾項（或用圖形給出），求通項公式。一般從以下幾個方面考慮：
①符號相隔變化用來調節。
②分式形式的數列，注意分子、分母分別找通項，並注意分子與分母的聯絡。
③分別觀察奇數項與偶數項的變化規律，用分段函式的形式寫出通項。
④觀察是否與等差數列和等比數列相聯絡。
⑤分析相鄰項的關係。
【例1】根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的乙個通項公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 332
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 14) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
練習：1.根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的乙個通項公式：
（1）1,3,7,15,312）1,11,111,1111，……；
（34），……；
（5）9,99,999,99996），……；
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