一數列的概念
1)數列的前項和與通項的公式①;
2)數列的分類:①遞增數列:對於任何,均有.
②遞減數列:對於任何,均有.③擺動數列:
例如: ④常數數列:例如:
6,6,6,6,…….⑤有界數列:存在正數使.
⑥無界數列:對於任何正數,總有項使得.
1、等差數列
1)通項公式,為首項,為公差。前項和公式或.
2)等差中項:。
3)等差數列的判定方法:⑴定義法:(,是常數)是等差數列;⑵中項法:()是等差數列.
4)等差數列的性質:
⑴數列是等差數列,則數列、(是常數)都是等差數列;
⑵在等差數列中,等距離取出若干項也構成乙個等差數列,即為等差數列,公差為.
⑶;⑷若,則;
⑸若等差數列的前項和,則是等差數列;
⑹當項數為,則;
當項數為,則.
(7)設是等差數列,則(是常數)是公差為的等差數列;
(8)設,,,則有;
2、等比數列
1)通項公式:,為首項,為公比 。前項和公式:①當時,②當時,.
2)等比中項:。;
3)等比數列的判定方法:⑴定義法:(,是常數)是等比數列;⑵中項法:()且是等比數列.
4)等比數列的性質:
⑴數列是等比數列,則數列、(是常數)都是等比數列;
(2)(3)若,則;
(4)若等比數列的前項和,則、、、是等比數列.
(5)設,是等比數列,則也是等比數列。
(6)設是等比數列,是等差數列,且則也是等比數列(即等比數列中等距離分離出的子數列仍為等比數列);
(7)設是正項等比數列,則是等差數列;
(8)設,,,則有;
3、解題技巧
a、數列求和的常用方法:
b、等差數列前項和的最值問題:
1、若等差數列的首項,公差,則前項和有最大值。
(ⅰ)若已知通項,則最大;
(ⅱ)若已知,則當取最靠近的非零自然數時最大;
2、若等差數列的首項,公差,則前項和有最小值
(ⅰ)若已知通項,則最小;
(ⅱ)若已知,則當取最靠近的非零自然數時最小;
c、根據遞推公式求通項:
1、構造法:
1°遞推關係形如「」,利用待定係數法求解
【例題】已知數列中,,求數列的通項公式.
2°遞推關係形如「,兩邊同除或待定係數法求解
【例題】,求數列的通項公式.
3°遞推已知數列中,關係形如「」,利用待定係數法求解
【例題】已知數列中,,求數列的通項公式.
4°遞推關係形如",兩邊同除以
【例題】已知數列中,,求數列的通項公式.
【例題】數列中,,求數列的通項公式.
2、迭代法:
a、⑴已知關係式,可利用迭加法或迭代法;
【例題】已知數列中,,求數列的通項公式
b、已知關係式,可利用迭乘法.
【例題】已知數列滿足:,求求數列的通項公式;
3、給出關於和的關係
【例題】設數列的前項和為,已知,設,
求數列的通項公式.
五、典型例題
a、求值類的計算題(多關於等差等比數列)
1)根據基本量求解(方程的思想)
【例題】已知為等差數列的前項和,,求;
2)根據數列的性質求解(整體思想)
【例題】已知為等比數列前項和,,,則 .
b、求數列通項公式(參考前面根據遞推公式求通項部分)
c、證明數列是等差或等比數列
1)證明數列等差
【例題】已知為等差數列的前項和,.求證:數列是等差數列.
2)證明數列等比
【例題】數列的前n項和為sn,數列中,若an+sn=n.設**=an-1,求證:數列是等比數列;
d、求數列的前n項和
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