2023年普通高等學校全國統一考試（山東卷）
理科數學
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的的四個選項中，只有乙個項是符合題目要求的。
（1）設集合，，則
a. b. c. d.
解析：，，答案應選a。
（2）複數為虛數單位）在復平面內對應的點所在的象限為
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
解析：對應的點為在第四象限，答案應選d.
（3）若點在函式的圖象上，則的值為
abcd.
解析：，，，答案應選d.
（4）不等式的解集是
a. b. c. d.
解析：當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，不成立；當時，原不等式可化為，解得.綜上可知，或，答案應選d。
另解1：可以作出函式的圖象，令可得或，觀察影象可得，或可使成立，答案應選d。
另解2：利用絕對值的幾何意義，表示實數軸上的點到點與的距離之和，要使點到點與的距離之和等於10，只需或，於是當，或可使成立，答案應選d。
（5）對於函式，，「的圖象關於軸對稱」是「是奇函式」的
a充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.即不充分也不必要條件
解析：若是奇函式，則的圖象關於軸對稱；反之不成立，比如偶函式，滿足的圖象關於軸對稱，但不一定是奇函式，答案應選b。
（6）若函式在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則
abcd.
解析：函式在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
則，即，答案應選c。
另解1：令得函式在為增函式，同理可得函式在為減函式，則當時符合題意，即，答案應選c。
另解2：由題意可知當時，函式取得極大值，則，即，即，結合選擇項即可得答案應選c。
另解3：由題意可知當時，函式取得最大值，
則，，結合選擇項即可得答案應選c。
（7）某產品的廣告費用與銷售額的統計資料如下表：
根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元是銷售額為
a.6.6萬元b. 65.5萬元c. 67.7萬元d. 72.0萬元
解析：由題意可知，則，答案應選b。
（8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為
a. b. c. d.
解析：圓，而，則，答案應選a。
（9）函式的圖象大致是
解析：函式為奇函式，且，令得，由於函式為週期函式，而當時，，當時，，則答案應選c。
（10）已知是上最小正週期為2的週期函式，且當時，，則函式的圖象在區間上與軸的交點的個數為
a.6 b.7 c.8 d.9
解析：當時，則，而是上最小正週期為2的週期函式，則，，答案應選b。
(11)右圖是長和寬分別相等的兩個矩形。給定三個命題：
①存在三稜柱，其正（主）檢視、俯檢視如右圖；
②存在四稜柱，其正（主）檢視、俯檢視如右圖；
③存在圓柱，其正（主）檢視、俯檢視如右圖。
其中真，命題的個數是
a.3 b.2 c.1 d.0
解析：①②③均是正確的，只需①底面是等腰直角三角形的直四稜柱，
讓其直角三角形直角邊對應的乙個側面平臥；②直四稜柱的兩個側面
是正方形或一正四稜柱平躺；③圓柱平躺即可使得三個命題為真，
答案選a。
（12）設是平面直角座標系中兩兩不同的四點，若,
,且，則稱調和分割，已知平面上的點調和分割點，則下面說法正確的是
a. c可能是線段ab的中點b. d可能是線段ab的中點
c. c,d可能同時**段ab上 d. c,d不可能同時**段ab的延長線上
解析：根據題意可知，若c或d是線段ab的中點，則，或，矛盾；
若c,d可能同時**段ab上，則則矛盾，若c,d同時**段ab的延長線上，則，，故c,d不可能同時**段ab的延長線上，答案選d。
二、填空題：本大題共4小題·，每小題4分，共16分。
（13）執行右圖所示的程式框圖，輸入，
則輸出的y的值是 。
解析：。答案應填：68.
（14）若展開式的常數項為60，
則常數的值為 。
解析：的展開式
，令，答案應填：4.
（15）設函式，觀察：
，，，，……
根據上述事實，由歸納推理可得：
當，且時
解析：，，
，以此類推可得。
答案應填：。
16.已知函式且。
當時函式的零點為，
則解析：根據，
，而函式在上連續，單調遞增，故函式的零點在區間內，故。答案應填：2.
三、解答題：本大題共6小題，共74分。
17.（本小題滿分12分）
在中，內角的對邊分別為，已知，
（ⅰ）求的值；（ⅱ）若，求的面積s。
解：（ⅰ）在中，由及正弦定理可得，即
則，而，則，
即。另解1：在中，由可得
由餘弦定理可得，
整理可得，由正弦定理可得。
另解2：利用教材習題結論解題，在中有結論
.由可得
即，則，
由正弦定理可得。
（ⅱ）由及可得
則，，s，即。
（18）（本題滿分12分）
紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員a、b、c進行圍棋比賽，甲對a、乙對b、丙對c各一盤。已知甲勝a、乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.
5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立。
（ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；
（ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望。
解析：（ⅰ）記甲對a、乙對b、丙對c各一盤中甲勝a、乙勝b、丙勝c分別為事件,則甲不勝a、乙不勝b、丙不勝c分別為事件，根據各盤比賽結果相互獨立可得
故紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為
.（ⅱ）依題意可知，；;
;.故的分布列為
故.19. （本小題滿分12分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，
，平面，，
，，．（ⅰ）若是線段的中點，求證：平面；
（ⅱ）若，求二面角的大小．
幾何法：
證明：（ⅰ），可知延長交於點，而，，
則平面平面，即平面平面，
於是三線共點，，若是線段的中點，而,
則，四邊形為平行四邊形，則，又平面，
所以平面；
（ⅱ）由平面，作，則平面，作，連線，則，於是為二面角的平面角。
若，設，則，，為的中點，，，
，在中,
則，即二面角的大小為。
座標法：（ⅰ）證明：由四邊形為平行四邊形，，平面，可得以點為座標原點，所在直線分別為建立直角座標系，
設，則,.
由可得，
由可得,
，則，，而平面，
所以平面；
（ⅱ）（ⅱ）若，設，則，
,則, ,
,設分別為平面與平面的法向量。
則，令，則，；
，令，則，。
於是，則，
即二面角的大小為。
20. （本小題滿分12分）等比數列中，分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足：，求數列的前項和．
解析：（ⅰ）由題意可知，公比，
通項公式為；
（ⅱ）當時， 當時故
另解：令，即則故
.21. （本小題滿分12分）某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：
公尺），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方公尺，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3千元，半球形部分每平方公尺建造費用為（）千元．設該容器的建造費用為千元．
（ⅰ）寫出關於的函式表示式，並求該函式的定義域；
（ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．
解析：（ⅰ）由題意可知，即，則.
容器的建造費用為，
即，定義域為.
（ⅱ），令，得.
令即，（1）當時，當，，函式為減函式，當時有最小值；
（2）當時，當，；當時，
此時當時有最小值。
22. （本小題滿分12分）已知動直線與橢圓：交於兩不同點，且的面積，其中為座標原點．
（ⅰ）證明：和均為定值；
（ⅱ）設線段的中點為，求的最大值；
（ⅲ）橢圓上是否存在三點，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．
解析：（ⅰ）當直線的斜率不存在時，兩點關於軸對稱，則，
由在橢圓上，則，而，則
於是，.
當直線的斜率存在，設直線為，代入可得
，即，，即
， 則，滿足，，
綜上可知，.
（ⅱ））當直線的斜率不存在時，由（ⅰ）知
當直線的斜率存在時，由（ⅰ）知，
，，當且僅當，即時等號成立，綜上可知的最大值為。
（ⅲ）假設橢圓上存在三點，使得，
由（ⅰ）知，
.解得,，
因此只能從中選取，只能從中選取，
因此只能從中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有乙個過原點，這與相矛盾，
故橢圓上不存在三點，使得。
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