liuxh0130
典例1(2010·遼寧高考)在△abc中a，b，c分別為內角a，b，c
的對邊，且2asina＝(2b＋c)sinb＋(2c＋b)sinc.
(1)求a的大小；
(2)若sinb＋sinc＝1，試判斷△abc的形狀．
解：(1)由已知，根據正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由餘弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosa，
故cosa＝－，又a∈(0，π)，故a＝120°.
(2)由(1)得sin2a＝sin2b＋sin2c＋sinbsinc.
又sinb＋sinc＝1，得sinb＝sinc＝.
因為0°＜b＜90°，0°＜c＜90°，故b＝c.
所以△abc是等腰的鈍角三角形．
典例2在銳角中，角、、所對的邊分別為、、.且.
（1）求角的大小及角的取值範圍；
（2）若，求的取值範圍.
解析：（1）由得即
得，故.
又因是銳角三角形，故即得
故.（2）由，得依得
於是依得知當時，即時，取得最大值.
當時，即時，取得最小值.
故所求的取值範圍是.
典例3在△abc中，內角a，b，c對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，c＝.
(1)若△abc的面積等於，求a，b；
(2)若sinc＋sin(b－a)＝2sin2a，求△abc的面積．
解：(1)由餘弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.
又因為△abc的面積等於，
所以absinc＝，得ab＝4.
聯立方程組解得
(2)由題意，得sin(b＋a)＋sin(b－a)＝4sinacosa，
即sinbcosa＝2sinacosa.
當cosa＝0，即a＝時，b＝，a＝，b＝；
當cosa≠0時，得sinb＝2sina，由正弦定理，得b＝2a.
聯立方程組解得
所以△abc的面積s＝absinc＝.
典例4(2012·武漢4月調考)在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，已知b＝60°．
（ⅰ）若cos(b＋c)＝－，求cosc的值；
（ⅱ）若a＝5，·＝5，求△abc的面積．
解：（ⅰ）在△abc中，由cos(b＋c)＝－，得
sin(b＋c)＝＝＝，
∴cosc＝cos[(b＋c)－b]＝cos(b＋c) cosb＋sin(b＋c) sinb
＝－×＋×＝．
（ⅱ）由·＝5，得||·||cos(180°－c)＝5，
即abcosc＝－5，
又a＝5，∴bcosc＝－1， ①
由正弦定理＝，得＝，
∴＝，即bcosc＋bsinc＝5， ②
將①代入②，得bsinc＝6，
故△abc的面積為s＝absinc＝×5×6＝15．
[例1] 已知tan(＋α)＝2，tanβ＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
(1)法一：∵tan(＋α)＝2，
∴＝2.∴＝2.
∴tanα＝.
∵tan(＋α)＝2，
∴tanα＝tan[(＋α)－]
＝＝＝.
(2) ＝＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝.
[例2]如圖，在平面直角座標系xoy中，以ox軸為始邊作兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓相交於a，b兩點，已知a，b兩點的橫座標分別為，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由條件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β為銳角，∴sinα＝＝，
sinβ＝＝.
∴tanα＝7，tanβ＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan
＝＝－1.
∵α，β為銳角，∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
[例3]某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位於港口o北偏西30°且與該港口相距20海浬的a處，並正以30海浬/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海浬/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．
解：(1)設相遇時小艇的航行距離為s海浬，則s＝＝
＝，故當t＝時，smin＝10，v＝＝30.
即小艇以30 海浬/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
(2)設小艇與輪船在b處相遇，如圖所示．
由題意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos
(90°－30°)，化簡得：
v2＝－＋900＝400(－)2＋675.
由於0＜t≤，即≥2，所以當＝2時，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值為10 海浬/小時．
[變式3]：題目條件不變，問是否存在v，使得小艇以v海浬/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值範圍；若不存在，請說明理由．
解：由(2)知v2＝－＋900，設＝u(u＞0)，
於是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價於方程(*)應有兩個不等正根，即：
解得15＜v＜30.
所以v的取值範圍是(15，30).
[例4]若＝2 011，則＋tan2
[解析] ＋tan2α＝＋
＝＝＝＝2 011.
[例5]已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(，)，若a·b＝，
且(1)試求cos(x－)和tan(x－)的值；
(2)求的值．
解：(1)∵a·b＝，∴ cosx＋sinx＝，
即cos(x－)＝.
∵∴sin(x－)＝，∴tan(x－)＝.
(2)sin2x＝cos(2x－)＝2cos2(x－)－1＝.
又∵tan(x－)＝＝，
∴tan(x＋)＝＝－，
∴＝sin2x·tan(x＋)
＝×(－)＝－.
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