§6.3 羅—克拉美不等式
前面兩節中我們介紹了矩法估計和極大似然估計，並討論了估計量的優良性質；一致性和無偏性，現在我們再來討論乙個更直觀而重要的性質。
我們知道，方差是乙個隨機變數落在它的均值e的鄰域內的集中或分散程度乙個度量，所以乙個好的估計量，不僅僅應該是待估引數的無偏估計，而且應該有盡可能小的方差。因此，若引數有兩個無偏估計量和，且對一切∈有d（）≤d（），則作為的估計，比好。
定義6.3 若引數有兩個偏估計和，且對一切∈有d（）≤d（），則稱估計比有效。
在例6.6中知道的極大似然估計=，顯然它不是的無偏估計，但是當n時，e，所以是的乙個漸近無偏估計。的方差
d（）=
若我們令=。顯然是的無偏估計，其方差
d（）= d =
由此得出，當n≥2時，無偏估計比無偏估計有效。
我們自然有這樣乙個想法，就是希望估計量的方差愈小愈好。那麼能夠小到什麼程度呢？也就是有沒有下界？
什麼條件下方差下界存在？下面我們就來討論建立乙個方差下界的羅—克拉美不等式。
羅—克拉美不等式設，，…，為取自具有概率函式，∈={a< （1）集合與無關；
（2）與存在，且對一切∈，
6.23）
6.24）
（3）令
i()=e ()>0
稱為資訊量，則
6.25）
且等式成立的充要條件為存在乙個不依賴於，，…，，但可能依賴於的k，使得等式
k（-g（06.26）
以概率1成立。
特別當g（0）=時，不等式（6.25）化為
6.27）
這個不等式工羅和克拉美在差不多的時候提出，所以現在就稱它為羅—克拉美不等式，也稱做資訊不等式。（證明略）
有時我們稱滿足上述兩個正則條件（1）和（2）的估計量為正規估計。由此我們看到，羅—克拉美不等式所規定的下界不是整個無偏估計類的方差下界，而是無偏估計類中乙個子集―正規無偏估計類的方差下界。
為了計算資訊量i()方便起見，我們證明乙個重要性質。
性質若6.36）
則i()=–e6.37）
對於方差達到羅—克拉美不等式下界的估計，我們給它乙個名稱如下。
定義6.4 若的乙個無偏估計使羅—克拉美不等式中等式
=成立，則稱為的有效估計。
定義6.5 若為的乙個無偏估計，且羅—克拉美不等式下界存在，則稱與i()的比
6.37）
為估計的有效率，這裡i()=e[（）]。(例題略)
定義6.6 當n時，乙個估計的有效率e1，則稱為引數的漸近有效估計。
系滿足定理6.1中條件得出的估計是漸近有效估計，因此它是漸近正態、漸近無偏、漸近有效估計。
從這個系可以推出正態母體中引數的極大似然估計是漸近正態、漸近有效、漸近無偏的。
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