2023年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
理科數學
第ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.
1.已知全集，則集合（ ）
a． b． c． d．
2.設複數z滿足，則（ ）
a． b． c． d．
3.已知，，則（ ）
a． b． c． d．
4.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）
a．若則 b．若，，則
c．若，，則 d．若，，則
5.設是非零向量，學科網已知命題p：若，，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ）
a． b． c． d．
6.6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的做法種數為（ ）
a．144 b．120 c．72 d．24
7.某幾何體三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
a． b． c． d．
8.設等差數列的公差為d，若數列為遞減數列，則（ ）
a． b． c． d．
9.將函式的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函式（ ）
a．在區間上單調遞減
b．在區間上單調遞增
c．在區間上單調遞減
d．在區間上單調遞增
10.已知點在拋物線c：的準線上，學科網過點a的直線與c在第一象限相切於點b，記c的焦點為f，則直線bf的斜率為（ ）
a． b． c． d．
11.當時，不等式恆成立，則實數a的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
12.已知定義在上的函式滿足：
①；②對所有，且，有.
若對所有，，則k的最小值為（ ）
a． b． c． d．
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13.執行右側的程式框圖，若輸入，則輸出
14.正方形的四個頂點分別在拋物線和上，如圖所示，若將乙個質點隨機投入正方形abcd中，則質點落在陰影區域的概率是
15.已知橢圓c：，點m與c的焦點不重合，若m關於c的焦點的對稱點分別為a，b，線段mn的中點在c上，則
16.對於，當非零實數a，b滿足，且使最大時，的最小值為
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17.（本小題滿分12分）
在中，內角a，b，c的對邊a，b，c，且，已知，，，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
18. （本小題滿分12分）
一家麵包房根據以往某種麵包的銷售記錄，繪製了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，並假設每天的銷售量相互獨立.
（1）求在未來連續3天裡，有連續2天的日銷售量都不低於100個且另一天的日銷售量低於50個的概率；
（2）用x表示在未來3天裡日銷售量不低於100個的天數，求隨機變數x的分布列，期望及方差.
19. （本小題滿分12分）
如圖，和所在平面互相垂直，且，，e、f分別為ac、dc的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.
20. （本小題滿分12分）
圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成乙個三角形，當該三角形面積最小時，切點為p（如圖），雙曲線過點p且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過點p且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交於a，b兩點，若以線段ab為直徑的圓心過點p，求的方程.
21. （本小題滿分12分）
已知函式，.
證明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且對（1）中的.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框塗黑.
22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，ep交圓於e、c兩點，pd切圓於d，g為ce上一點且，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.
（1）求證：ab為圓的直徑；
（2）若ac=bd，求證：ab=ed.
23. （本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
將圓上每一點的橫座標保持不變，縱座標變為原來的2倍，得曲線c.
（1）寫出c的引數方程；
（2）設直線與c的交點為，以座標原點為極點，x軸正半軸為極座標建立極座標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極座標方程.
24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
設函式，，記的解集為m，的解集為n.
（1）求m；
（2）當時，證明：.
數學（理）參***
一、 選擇題
（1）d（2）a（3）c（4）b（5）a（6）d
（7）b（8）c（9）b（10）d（11）c（12）b
二、 填空題
（13）（14）（15）12（16）-2
三、解答題
17.【答案】 （1） （2）
【解析】
（1）（2）
18.【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72
【解析】
（1）（2）
19.【答案】 （1） 省略（2）
【解析】
（1）（2）
20.【答案】 （1） （2）
【解析】
（1）（2）
. 21. 【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72
【解析】
（1）（2）
（）考慮
令則時，
記由（）得，當
在（0，）上是增函式，又，從而當時， ，所以在上無零點。
在上為減函式，由， =-4ln2,知存在唯一，使.
所以存在唯一的，使.
因此存在唯一的，使===0.
因為當時，，故=（）與有相同的零點，所以存在唯一的，使=0.
22.【答案】
【解析】
（1）(2)
23.【答案】 （1） （2）
【解析】
（1）（2）
24.【答案】 （1） （2）
【解析】
（1）（2）
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