所謂公理化方法（或公理方法），就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本命題）出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學建立成為演繹系統的一種方法。所謂基本概念和公理，當然必須反映數學實體物件的最單純的本質和客觀關係，而並非人們自由意志的隨意創造。
所共知，希爾伯特2023年出版的《幾何學基礎》一書是近代數學公理化的典範著作。該書問世後的
二、三十年間曾引起西方數學界的一陣公理熱，足見其影響之大。希爾伯特的幾何公理系統實際是在前人的一系列工作成果基礎上總結出來的，書中的公理條目也曾屢經修改。直到2023年出第七版時，還作了最後修改。
這說明一門學科的公理化未必是一次完成的，公理化過程可以是包含一些發展階段的。公理化方法的歷史發展，大致可分成三個階段：
1.是公理方法的產生階段，大約在西元前三世紀，希臘的哲學家和邏輯學家亞里斯多德（aristotle）總結了古代積累起來的邏輯知識，以演繹證明的科學（主要是數學）為例項，把完全三段論作為公理，由此推導出別的所有三段論（共分了十九個格式）。因此可以認為，亞里斯多德在歷史上提出了第乙個成文的公理系統。
亞里斯多德的思想方法深深地影響了西元前三世紀的希臘數學家歐幾里得，後者把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》。歐幾里得從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結概括出14個基本命題，其中有5個公設和9條公理。
由此出發，他運用演繹方法將當時所知的幾何知識全部推導出來，這便是古代數學公理方法的乙個輝煌成就。
2.是公理方法的完善階段，如所知，歐氏幾何的公理系統是不完善的，其主要的不足之處可以概括為：（1）有些定義是不自足的，亦即往往使用一些未加定義的概念去對別的概念下定義。
（2）有些定義時多餘的，略去它毫不影響往後的演繹和展開。（3）有些定理的證明過程往往依賴於圖形的直觀。另一方面，由於第五公設（即平行線公理）在陳述與內容上的複雜和累贅，古代學者們早就懷疑地指出，第五公設是不是多餘的，它能否從其他公設、公理中邏輯地推導出來？
而且進一步認為，歐幾里得之所以把它作為公設，只是因為他未能給出這一命題的證明。因而，學者們紛紛致力於證明第五公設。但是所有試證第五公設的努力均歸於失敗，在這些失敗之中唯一引出的正面結果便是一串與第五公設相等價的命題被發現。
並且非歐幾何學中的一系列命題都和人們的樸素直觀不相符合。這是它在開創階段之所以遭受人們冷嘲熱諷的重要原因。但是，這種背離直觀的幾何學在邏輯系統內沒有矛盾，演繹論證的嚴格性也是無懈可擊的。
事實上，非歐幾何給人們開拓了「空間」的概念（如所知，非歐幾何的重要分支「黎曼幾何」在愛因斯坦2023年創立「廣義相對論」後，已得到了證實和應用）。非歐幾何的產生，不僅為公理化方法進一步奠定了基礎，而且為公理方法可以推廣和建立新的數學理論提供了依據。
非歐幾何的創立大大地提高了公理方法的信譽。接著便有許多數學家致力於公理方法的研究。例如，1871~2023年間德國數學家康托（cantor）與戴德金（dedekind）不約而同地擬成了連續性公理。
德國數學家巴許（pasch）在2023年擬成了順序公理。正是在這樣的基礎上，希爾伯特於2023年發表了《幾何學基礎》一書，終於解決了歐氏幾何的欠缺問題，完善了幾何學的公理化方法。此書也就成為近代公理化思想的代表作。
3.是公理方法的形式化階段，歐氏《幾何原本》表現的公理化可稱之為「實體公理化」，因為在這樣的公理系統中，概念直接反映著數學實體的性質，而且那些概念、定義、公理和論證的表述往往束縛於直覺觀念的指導。但在希爾伯特於其《幾何學基礎》一書中對歐氏系統加以完善化以後，不僅在公理的表述或定理的論證中擺脫了空間觀念的直覺成分，而且給出和奠定了對一系列幾何物件及其關係進行更高一級抽象的可能性和基礎。
就是說，人們可以在高度抽象的意義下給出公理系統，只要能滿足系統中諸公理的要求，就可以使得該公理系統所設計的物件是任何事物，並且在公理中表述事物或物件之間的關係時，也可以具有其具體意義的任意性。這樣，自從《幾何學基礎》問世之後，不僅公理化方法進入數學的各個分支，而且把公理化方法本身推向了形式化的階段。
如前所述，數學公理化的目的就是要把一門數學表述為乙個演繹系統。這個系統的出發點就是一組基本概念和公理。因此，如何引進基本概念和確立一組公理便是運用公理化方法的關鍵，也即這種方法的基本內容。
當然並不是說公理化思想就不需要實踐經驗，恰恰相反，在很多時候，公理化思想給我們的啟示是，我們要常常回到問題的出發點，按照馮·諾伊曼所講的去「返本求源」，為問題注入新的直接經驗，重新建立問題的基本假設（公理或者概念），從而重建關於問題的描述模型（嚴密的情況下就是重建關於問題域的系統了）。以我所熟悉的資料探勘領域的研究為例。按照流行的分類方法，這當然是乙個應用型的學科領域。
其中的核心研究就是關於資料探勘的演算法研究，這包括了演算法的理論基礎、複雜度、收斂性、有效性、適用性等方面的問題。通常對於工科的人來說，研究主要是從演算法的應用角度進行的，這當然無可厚非。但大多數從純應用的角度出發來研究的人，很多人都忽視了這些演算法的基本前提假設（這往往直接影響了演算法的有效性），而直接拿來就做應用或者是做改進。
比如對於粗糙集的研究，大多數的人都是直接從約簡入手，對於為什麼可以約簡？在哪些條件下可以約簡？這些基本的前提缺乏了解，這導致了演算法的適用性和實用性都很難讓人滿意。
拋卻功利的想法不論，其實反映出的最大問題在於，我們缺乏相應的數學公理化思想的訓練：考慮問題往往沒有前提。（當然有時候這個前提是隱含地應用了，所以你也能得出一些合理的結論，但隱含地應用和自覺地應用，境界自有差異）。
說到這裡，其實也觸及到了文章開頭我們的問題，當然我們所缺的不僅僅是數學公理化的思想。看看我們從小學到大學的教育，我們學的只有「計算」，而沒有「思想」，這不能不說是一種悲哀。我把知識的掌握分成這樣幾個階段：
了解，理解，自覺，智慧型（當然這種分法每個人看法不同）。關於某個物件的「知識」，我們最初是了解它（直接或者間接經驗）；在了解的基礎上，經過實驗或者邏輯證明，我們對它有了進一步的認識和理解，最後可以內化為自己思想中的成分，以至可以在不自覺中就使用，這是我們學習一般都可以達到的階段；「知識」經過內化之後，經過進一步的反思，它會使得我們個體的知識系統化，從而達到一種自覺的狀態，也就是我們知道「自己知道某些東西」；最後，知識的系統化可以達到一種不自覺的自然狀態（注意這種狀態和第二個階段的不自覺應用是不同的），我們可以對這個系統化之外的物件加以處理，那就是智慧型了歷史使人明智，數學史也不例外。古希臘的文明，數學是主要標誌之一，其中歐幾里得的《幾何原本》閃耀著理性的光輝，人們在欣賞和讚嘆嚴密的邏輯體系的同時，漸漸地把數學等同於邏輯，以「理性的封閉演繹」作為數學的主要特徵。
跟我國古代數學巨著《九章算術》相對照，就可以發現從形式到內容都各有特色和所長，形成東西方數學的不同風格：《幾何原本》以形式邏輯方法把全部內容貫穿起來，極少提及應用問題，以幾何為主，略有一點算術內容，而《九章算術》則按問題的性質和解法把全部內容分類編排，以解應用問題為主，包含了算術、代數、幾何等我國當時數學的全部內容。但是在近代數學史上，以牛頓為代表的數學巨人衝破了「數學=邏輯演繹」的公式，創造地發明了微積分。
從中我們可以認識到歐幾里得的幾何學具有嚴密的邏輯演繹思維模式，牛頓的微積分具有開放的實踐創造思維模式。在我們的學習中同樣需要兼顧嚴密的邏輯演繹思維與開放的實踐創造思維。
學過數學的人應該都知道勾股定理吧！那你知道是誰最早發現的嗎？在西方的文獻中一直把勾股定理稱作畢達哥拉斯定理。
他是希臘論證數學的另一位祖師，並精於哲學、數學、天文學、**理論；他創立的畢達哥拉斯學派把數學當作一種思想來追求，去追求永恆的真理。你知道被國際公認為「東方第一幾何學家」的人誰嗎？當我們學校組織高一段的同學去平陽春遊，參觀了蘇步青的故居後，這個謎團才得以解決。
並且數學知識分為兩類：一類是陳述性知識（或者說明性知識），是關於事實本身的知識，例如定義、定理、公理、概念、性質、法則、運算律等等，是關於是什麼的一類知識；另一類是程式性知識，指怎樣進行認識活動的知識。陳述性知識可通過說明、解釋、舉例等方式達到理解，是可傳授的，易掌握的，通過訓練是能夠牢固掌握的。
程式性知識更多地體現在經驗，可傳授性差，要靠體驗、意會和悟性，而體驗是要在過程中生成的，需要逐步積累的。數學學習的特點給我們兩點啟示：
1、程式性知識比陳述性知識更為重要。（為什麼不會解題的原因）
2、程式性知識的學習要在應用過程中揣摩，陳述性知識要在訓練中加深理解和掌握。在學習過程中，我們體會到數學的發展並非一帆風順，它是眾多數學先賢前赴後繼、辛勤耕耘的奮鬥過程，也是克服困難、戰勝危機的鬥爭過程。
了解數學史，對於我們把握數學知識之間的關係和聯絡，領會數學知識所內含的數學思想方法大有好處。
09數教二班
袁檢0930*******
數學公理化方法在數學中重要作用
摘要 數學公理化方法在近代數學的發展中起著基本的作用，它的思想對各門現代數學理論的系統形成有著深刻的影響，公理化方法對數學的發展起到了巨大作用，如在對公理化方法邏輯特徵的研究中，產生了許多新的數學分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統的獨立性產生的，元數學理論或證明論是由研究公理系統相容性產生的...