一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項符合題目要求)
1．已知α∈(，π)，sinα＝，則tan(α＋)等於( )
ab．7
c．－ d．－7
答案 a
解析 ∵α∈(，π)，sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－.∴tan(α＋)＝＝.
2．函式y＝sin2xcos2x的最小正週期是( )
a．2π b．4π
c. d．
答案 d
解析 y＝sin2xcos2x＝sin4x，所以最小正週期為t＝＝.
3．「等式sin(α＋γ)＝sin2β成立」是「α，β，γ成等差數列」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈z；若α，β，γ成等差數列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．
4．函式y＝2sin(－x)＋cos(＋x)(x∈r)的最小值等於( )
a．－3 b．－2
c．－1 d．－
答案 a
解析 y＝2sin(－x)＋cos(＋x)＝2cos[－(－x)]＋cos(＋x)＝2cos(＋x)＋cos(＋x)＝3cos(＋x)．
當x＝π＋2kπ，k∈z時，ymin＝－3.
5．已知△abc的周長為4(＋1)，且sinb＋sinc＝sina，則角a的對邊a的值為( )
a．2 b．4
c. d．2
答案 b
解析因為sinb＋sinc＝sina，所以由正弦定理得b＋c＝a，又周長為4(＋1)，所以a＝4.
6．(2011·浙江)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若acosa＝bsinb，則sinacosa＋cos2b＝( )
a．－ b．
c．－1 d．1
答案 d
解析 ∵acosa＝bsinb，∴sinacosa＝sin2b.
∴sinacosa＋cos2b＝sin2b＋cos2b＝1.
7．已知函式f(x)＝2sinωx(ω>0)在區間[－，]上的最小值是－2，則ω的最小值等於( )
a. b．
c．2 d．3
答案 b
解析方法一：畫圖知[－，]內包含最小值點，∴≤，即≤，∴ω≥.
方法二：∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在區間[－，]上的最小值是－2時，ωx＝2kπ－，x＝－(k∈z)，∴－≤－≤，得ω≥.
8．(2011·浙江)若0<α<，－ <β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝( )
a. b．－
c. d．－
答案 c
解析根據條件可得所以sin(α＋)＝，sin(－)＝.
所以cos(α＋)＝cos
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
＝×＋×＝.
9．已知θ為第二象限角，且cos＝－，那麼的值是( )
a．－1 b．
c．1 d．2
答案 c
解析由θ為第二象限角知在第
一、三象限，又由cos＝－<0知是第三象限角，且cos>sin.
故＝＝＝1.
10．(2013·大綱全國)已知函式f(x)＝cosxsin2x，下列結論中錯誤的是( )
a．y＝f(x)的影象關於點(π，0)中心對稱
b．y＝f(x)的影象關於直線x＝對稱
c．f(x)的最大值為
d．f(x)既是奇函式，又是週期函式
答案 c
解析由題意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.
令t＝sinx，t∈[－1,1]，則g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.
令g′(t)＝2－6t2＝0，得t＝±.
當t＝±1時，函式值為0；
當t＝－時，函式值為－；
當t＝時，函式值為.
∴g(t)max＝，即f(x)的最大值為.故選c.
11.把函式y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的影象向左平移個單位，所得曲線的一部分如圖所示，則ω，φ的值分別為( )
a．1， b．1，－
c．2， d．2，－
答案 d
解析由題知，×＝－，∴ω＝2，∵函式的影象過點(，0)，∴2故選d.
12．已知函式f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈r，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正週期為6π，且當x＝時，f(x)取得最大值，則( )
a．f(x)在區間[－2π，0]上是增函式
b．f(x)在區間[－3π，－π]上是增函式
c．f(x)在區間[3π，5π]上是減函式
d．f(x)在區間[4π，6π]上是減函式
答案 a
解析 ∵t＝6π，∴ω＝＝＝.
又∵f()＝2sin(×＋φ)＝2sin(＋φ)＝2，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈z，即φ＝＋2kπ，k∈z.
又∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)．
∴f(x)的單調遞增區間為[－π＋6kπ，＋6kπ]，單調遞減區間為[＋6kπ，π＋6kπ]，k∈z.
觀察各選項，故選a.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，則cos2θ＋sin2φ的值為________．
答案 0
解析由tan2θ＝2tan2φ＋1，得
cos2θ＝＝＝－.
∴cos2θ＋sin2φ＝－＋sin2φ＝－sin2φ＋sin2φ＝0.
14．在△abc中，若b＝5，∠b＝，tana＝2，則sinaa
答案 2
解析 ∵tana＝＝2，∴sina＝.又∵b＝5，b＝，根據正弦定理，得a＝＝＝2.
15．(2013·課標全國ⅰ)設當x＝θ時，函式f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cos
答案 －
解析 f(x)＝sinx－2cosx＝(sinx－cosx)，
令cosα＝，sinα＝－，則f(x)＝sin(α＋x)．
當x＝2kπ＋－α(k∈z)時，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈z)，
所以cosθ＝cos(2kπ＋－α)＝cos(－α)＝sinα＝－＝－.
16．下面有五個命題：
①函式y＝sin4x－cos4x的最小正週期是π.
②終邊在y軸上的角的集合是．
③在同一座標系中，函式y＝sinx的影象和函式y＝x的影象有三個公共點．
④把函式y＝3sin(2x＋)的影象向右平移得到y＝3sin2x的影象．
⑤函式y＝sin(x－)在[0，π]上是減函式．
其中，真命題的編號是寫出所有真命題的編號)
答案 ①④
解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正週期為π.
②k＝0時，α＝0，則角α終邊在x軸上．
③由y＝sinx在(0,0)處切線為y＝x，所以y＝sinx與y＝x影象只有乙個交點．
④y＝3sin(2x＋)影象向右平移個單位得
y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin2x.
⑤y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上為增函式，綜上知①④為真命題．
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
已知函式f(x)＝，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，並求其值域．
答案 偶函式 ．
因為f(x)的定義域關於原點對稱，
且f(－x)＝
＝＝f(x)，
所以f(x)是偶函式．
當x≠＋，k∈z時，
f(x)＝
＝＝3cos2x－1，
所以f(x)的值域為 t＝π
(2)[kπ＋，kπ＋](k∈z)
解析 (1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈z)．
故f(x)的定義域為．
因為f(x)＝(sinx－cosx)
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正週期t＝＝π.
(2)函式y＝sinx的單調遞減區間為[2kπ＋，2kπ＋](k∈z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈z)．
所以f(x)的單調遞減區間為[kπ＋，kπ＋](k∈z)．
19．(本小題滿分12分)
(2013·大綱全國)設△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求b；
(2)若sinasinc＝，求c.
答案 (1)120° (2)15°或45°
解析 (1)因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由餘弦定理，得cosb＝＝－，因此b＝120°.
(2)由(1)知a＋c＝60°，
所以cos(a－c)＝cosacosc＋sinasinc＝cosacosc－sinasinc＋2sinasinc＝cos(a＋c)＋2sinasinc＝＋2×＝.
故a－c＝30°或c－a＝30°，因此c＝15°或c＝45°.
20．(本小題滿分12分)
在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足ac＝a2＋c2－b2.
(1)求角b的大小；
(2)若|－|＝2，求△abc面積的最大值．
答案 (1) (2)
解析 (1)∵在△abc中，ac＝a2＋c2－b2，
∴cosb＝＝.
∵b∈(0，π)，∴b＝.
(2)∵|－|＝2，∴||＝2，即b＝2.
∴a2＋c2－ac＝4.
∵a2＋c2≥2ac，當且僅當a＝c＝2時等號成立，
∴4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4.
∴△abc的面積s＝acsinb＝ac≤.
∴當a＝b＝c＝2時，△abc的面積取得最大值為.
21．(本小題滿分12分)
在△abc中，內角a，b，c所對邊長分別為a，b，c，·＝8，∠bac＝θ，a＝4.
(1)求bc的最大值及θ的取值範圍．
(2)求函式f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的最值．
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