圓綜合複習
一、本章知識框架
二、本章重點
1．圓的定義：
(1)線段oa繞著它的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓．
(2)圓是到定點的距離等於定長的點的集合．
2．與圓有關的角
(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．
圓心角的性質：圓心角的度數等於它所對的弧的度數．
(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
圓周角的性質：
①圓周角等於它所對的弧所對的圓心角的一半．
②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．
④如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形．
⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等於它的內對角．
(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．
弦切角的性質：弦切角等於它夾的弧所對的圓周角．
弦切角的度數等於它夾的弧的度數的一半．
【經典例題精講】
例1 下列命題正確的是( )
a．相等的圓周角對的弧相等
b．等弧所對的弦相等
c．三點確定乙個圓
d．平分弦的直徑垂直於弦．
練習1.已知：如圖，ab是⊙o的直徑，cd是⊙o的弦，ab，cd的延長線交於e，若ab=2de，∠e=18°，求∠c及∠aoc的度數．
2．已知：如圖，在同心圓中，大圓的弦ab交小圓於c，d兩點．
(1)求證：∠aoc=∠bod；
(2)試確定ac與bd兩線段之間的大小關係，並證明你的結論．
3．已知：如圖，△abc內接於⊙o，am平分∠bac交⊙o於點m，ad⊥bc於d．
求證：∠mao=∠mad．
4．已知：如圖，ab是⊙o的直徑，cd為弦，且ab⊥cd於e，f為dc延長線上一點，鏈結af交⊙o於m．
求證：∠amd=∠fmc．
3．圓的性質：
(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．
在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那麼它所對應的其他各組分別相等．
(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．
4垂徑定理及推論：
(1)垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧．
(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．
(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夾的弧相等．
【經典例題精講】
1已知：如圖，ab是⊙o的直徑，弦cd交ab於e點，be=1，ae=5，∠aec=30°，求cd的長．
2．已知：如圖，a，b是半圓o上的兩點，cd是⊙o的直徑，∠aod=80°，b是的中點．
(1)在cd上求作一點p，使得ap＋pb最短；
(2)若cd=4cm，求ap＋pb的最小值．
3.如圖，有一圓弧形的拱橋，橋下水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.
4m，現有一竹排運送一貨箱從橋下經過，已知貨箱長10m，寬3m，高2m(竹排與水面持平)．問：該貨箱能否順利通過該橋?
5．三角形的內心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用「i」表示．
(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用o表示．
(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用g表示．
(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．
6．圓內接四邊形和外切四邊形
(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等於內對角．
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．
【經典例題精講】
1. 四邊形abcd內接於⊙o，∠a︰∠b︰∠c＝1︰2︰3，求∠d．
7．判定乙個點p是否在⊙o上．
設⊙o的半徑為r，op＝d，則有
d>r點p在⊙o 外；
d＝r點p在⊙o 上；
d8．直線和圓的位置關係：
設⊙o 半徑為r，點o到直線l的距離為d．
(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>r．
(2)直線和⊙o有唯一公共點直線l和⊙o相切d＝r．
(3)直線l和⊙o 有兩個公共點直線l和⊙o 相交d9．切線的判定、性質：
(1)切線的判定：
①經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
②到圓心的距離d等於圓的半徑的直線是圓的切線．
(2)切線的性質：
①圓的切線垂直於過切點的半徑．
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點．
③經過切點作切線的垂線經過圓心．
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．
(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
【經典例題精講】
1.（2011北京中考20題）如圖，在中，，以為直徑的分別交、於點、，點在的延長線上，且.
⑴ 求證：直線是的切線；
⑵ 若，，求和的長.
2．（2011西城一模21題）如圖，d是⊙o的直徑ca延長線上一點，點 b在⊙o上，
且ab＝ad＝ao．
（1）求證：bd是⊙o的切線；
（2）若e是劣弧bc上一點，ae與bc相交於點f，
△bef的面積為8，且cos∠bfa＝，
求△acf的面積．
3．已知：如圖，rt△abc中，∠acb=90°，以ac為直徑的半圓o交ab於f，e是bc的中點．
求證：直線ef是半圓o的切線．
4已知：如圖，△abc中，ac=bc，以bc為直徑的⊙o交ab於e點，直線ef⊥ac於f．
求證：ef與⊙o相切．
5已知：如圖，以△abc的一邊bc為直徑作半圓，交ab於e，過e點作半圓o的切線恰與ac垂直，試確定邊bc與ac的大小關係，並證明你的結論．
6．已知：如圖，pa切⊙o於a點，po∥ac，bc是⊙o的直徑．請問：直線pb是否與⊙o相切?說明你的理由．
7．已知：如圖，pa，pb，dc分別切⊙o於a，b，e點．
(1)若∠p=40°，求∠cod；
(2)若pa=10cm，求△pcd的周長．
8.已知：如圖，⊙o內切於△abc，∠boc=105°，∠acb=90°，ab=20cm．求bc、ac的長．
(2011東城二模20題). 如圖，四邊形abcd是平行四邊形，以ab為直徑的⊙o經過點d，e是⊙o上一點，且aed=45．
(1) 試判斷cd與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
(2) 若⊙o的半徑為3，sinade=，求ae的值．
（2011豐台一模20題）．在rt中，∠f=90°，點b、c分別在ad、fd上，以ab為直徑的半圓o 過點c，聯結ac，將△afc 沿ac翻摺得，且點e恰好落在直徑ab上.
（1）判斷：直線fc與半圓o的位置關係是並證明你的結論.
（2）若ob=bd=2,求ce的長．
（2011豐台二模20題）. 已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，點e在斜邊ab上，以ae為直徑的⊙o與bc邊相切於點d，聯結ad.
（1）求證：ad是∠bac的平分線；
（2）若ac= 3，tan b=，求⊙o的半徑.
（2011石景山一模20題）．已知：如圖，在矩形中，點在對角線上，以的長為半徑的⊙與，分別交於點e、點f，且∠=∠．
（1）判斷直線與⊙的位置關係，並證明你的結論；
（2）若，，求⊙的半徑．
（2011石景山二模20題）．已知：如圖，的角平分線，以為直徑的圓與邊交於點為弧的中點，聯結交於，．
（1）求證：與⊙相切；
（2）若，，求的長．
（2011大興二模20題）．如圖，在△abc中，ab＝ac，以ab為直徑的半圓o交bc於點
d，de⊥ac，垂足為e．
（1）判斷de與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
（2）如果⊙o的直徑為9，cosb＝，求de的長
10．圓和圓的位置關係：
11．兩圓的性質：
(1)兩個圓是乙個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．
【經典例題精講】
已知相交於a、b兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦ab＝16，求兩圓的圓心距．
12．圓中有關計算：
圓的面積公式：，周長c＝2πr．
圓心角為n°、半徑為r的弧長．
圓心角為n°，半徑為r，弧長為l的扇形的面積．
弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．
圓柱的側面圖是乙個矩形，底面半徑為r，母線長為l的圓柱的體積為，側面積為2πrl，全面積為．
圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為r，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πrl ，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．
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