圓的有關概念和性質
(1) 圓的有關概念
①圓：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓，其中定點為圓心，定長為半徑．
②弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧．
③弦：連線圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑．
（2）圓的有關性質
①圓是軸對稱圖形；其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．
②垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧．
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧．
③弧、弦、圓心角的關係：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等．
推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是直角；90」的圓周角所對的弦是直徑．
④三角形的內心和外心
：確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定乙個圓．
：三角形的外心：三角形的三個頂點確定乙個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
：三角形的內心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心
2.與圓有關的角
（1）圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數等於它所對的弧的度數．
（2）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半．
（3）圓心角與圓周角的關係：
同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半．
（4）圓內接四邊形：頂點都在國上的四邊形，叫圓內接四邊形．
圓內接四邊形對角互補，它的乙個外角等於它相鄰內角的對角．
知識點複習：
1．在同圓或等圓中，如果在兩條弦、兩條弧、兩個圓心角中有_____組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
2. 垂徑定理：垂直於弦的直徑這條弦，並且平分弦所對的兩條_______。
3. 垂徑定理的逆定理：平分弦（不是的直徑這條弦，並且平分弦所對的兩條___
4. 圓周角與圓心角的關係：一條弧所對的等於這條弧所對的的一半。
所對圓周角相等。在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的______相等。
直徑所對的圓周角是的圓周角所對弦是直徑。
5．圓的切線
⑴ 判定：經過直徑________，並且與這條直徑的直線是圓的切線。
⑵ 性質：圓的切線垂直於的直徑。
6．三角形的外心
確定乙個圓。經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的它的圓心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的的交點。
7．三角形的內心
與三角形的三邊都_______的圓叫做三角形的________圓，它的圓心叫做三角形的內心；三角形的內心是三角形的三條的交點。
㈡和圓有關的位置關係
8．點和圓的位置關係：有三種。設圓的半徑為r的距離為d，則⑴點在圓內
點在圓上點在圓外
9．直線和圓的位置關係：有三種。設圓的半徑為r的距離為d，則
⑴直線和圓沒有公共點直線和圓d_____r；
⑵直線和圓有惟一公共點直線和圓d_____r；
⑶直線和圓有兩個公共點直線和圓d_____r.
㈢與圓有關的計算：
11. ⑴弧長公式：l已知弧所對的圓心角度數為n，所在圓的半徑為r）
⑵設扇形的圓心角度數為n，所在圓的半徑為r，弧長為l，則扇形的周長為c
面積s⑶設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l。則l2＝r2＋h2；圓錐側面積s側
全面積s全
⑷設圓柱的底面半徑為r，高為h，母線長為l。則l＝h；圓柱側面積s側
全面積s全
圓的練習
一、選擇題
1.下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直於弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等．其中真命題的是（ ）
a.①② b. ②③ c. ①③ d. ①②③
2.下列命題中，正確的個數是（ ）
⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑； ⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；
⑶半徑相等的兩個圓是等圓 ； ⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優弧.
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
3.如果兩個圓心角相等，那麼（ ）
a.這兩個圓心角所對的弦相等 b.這兩個圓心角所對的弧相等
c.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等 d.以上說法都不對
4.⊙o中，∠aob=∠84°，則弦ab所對的圓周角的度數為（ ）
a.42° b.138° c.69° d.42°或138°
5.如圖，已知a、b、c是⊙o上的三點，若∠acb=44°．則∠aob的度數為（ ）
a．44°
b．46°
c．68°
d．88°
6.如圖，如果ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，垂足為e，那麼下列結論中，錯誤的是（ ）
b.c.∠bac=∠bad
7.如圖，⊙o的直徑為10，圓心o到弦ab的距離om的長為3，則弦ab的長是（ ）
a.4b.6
c.7d.8
8.如圖，a、b、c三點在⊙o上，∠aoc=100°，則∠abc等於（ ）
a.140°
b.110°
c.120°
d.130°
9.如圖，⊙o的直徑cd垂直於弦ef，垂足為g，若∠eod=40°,則∠dcf等於（ ）
a.80°b. 50°c. 40°d. 20°
10.如圖，⊙o的直徑為10，弦ab的長為8，m是弦ab上的動點，則om的長的取值範圍（ ）
a．3≤om≤5
b．4≤om≤5
c．3＜om＜5
d．4＜om＜5
二、填空題
1.如圖，ab為⊙o直徑，e是中點，oe交bc於點d，bd=3，ab=10，則ac=_____.
2.如圖，⊙o中，若∠aob的度數為56°，∠acb
3.如圖，ab是⊙o的直徑，cd是弦，∠bdc=25°，則∠boc
4.如圖，等邊δabc的三個頂點在⊙o上，bd是直徑，則∠bdcacd若cd=10cm，則⊙o的半徑長為________.
5.如圖所示，在⊙o中，ab是⊙o的直徑，∠acb的角平分線cd交⊙o於d，則∠abd=______度．
6.（山西）如圖，在「世界盃」足球比賽中，甲帶球向對方球門pq進攻，當他帶球衝到a點時，同樣乙已經助攻衝到b點.有兩種射門方式：
第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.僅從射門角度考慮，應選擇________種射門方式.
三、解答題
1.如圖，ab為⊙o的直徑，cd為弦，過c、d分別作cn⊥cd、dm⊥cd，分別交ab於n、m，請問圖中的an與bm是否相等，說明理由.
2.如圖，在⊙o中，c、d是直徑ab上兩點，且ac=bd，mc⊥ab，nd⊥ab，m、n在⊙o上.(1)求證：=；
2)若c、d分別為oa、ob中點，則成立嗎？
3.如圖，已知ab=ac，∠apc=60°
(1)求證：△abc是等邊三角形.
(2)若bc=4cm，求⊙o的面積.
一、選擇題
1.如圖，在⊙o中，p是弦ab的中點，cd是過點p的直徑，則下列結論中不正確的是( )
b.∠aob=4∠acd
c.2.如圖，⊙o中，如果=2，那麼( )
3.如圖，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關係是( )
a.∠4＜∠1＜∠2＜∠3
b.∠4＜∠1=∠3＜∠2
c.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2
d.∠4＜∠1＜∠3=∠2
4.如圖，ad是⊙o的直徑，ac是弦，ob⊥ad，若ob=5，且∠cad=30°，則bc等於( )
a.3 b.3+
c.5- d.5
二、填空題
為⊙o內一點，op=3cm，⊙o半徑為5cm，則經過p點的最短弦長為________；最長弦長為_______.
2.如圖，oe、of分別為⊙o的弦ab、cd的弦心距，如果oe=of，那麼_______(只需寫乙個正確的結論).
3.如圖，ab和de是⊙o的直徑，弦ac∥de，若弦be=3，則弦ce
4.半徑為2a的⊙o中，弦ab的長為，則弦ab所對的圓周角的度數是________.
5.如圖，ab是⊙o的直徑，c、d、e都是圓上的點，則∠1+∠2=_______.
三、解答題
1.如圖，⊙o直徑ab和弦cd相交於點e，ae=2，eb=6，∠deb=30°，求弦cd長.
2.如圖，∠aob=90°，c、d是三等分點，ab分別交oc、od於點e、f，求證：ae=bf=cd.
3.如圖，⊙c經過座標原點，且與兩座標軸分別交於點a與點b，點a的座標為(0，4)，m是圓上一點，∠bmo=120°.
(1)求證：ab為⊙c直徑.
(2)求⊙c的半徑及圓心c的座標.
答案與解析
基礎達標
一、選擇題
二、填空題
1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二
三、解答題
理由：過點o作oe⊥cd於點e，
則ce=de，且cn∥oe∥dm.
∴on=om，∴oa-on=ob-om，
∴an=bm.
2.(1)鏈結om、on，在rt△ocm和rt△odn中om=on，
∵oa=ob，ac=db，∴oc=od，∴rt△ocm≌rt△odn，
∴∠aom=∠bon，∴
(2)提示：同上，在rt△ocm中，，同理
，.3.(1)證明：∵∠abc=∠apc=60°，
又，∴∠acb=∠abc=60°，∴△abc為等邊三角形.
(2)解：鏈結oc，過點o作od⊥bc，垂足為d，
在rt△odc中，dc=2，∠ocd=30°，
設od=x，則oc=2x，∴4x2-x2=4，∴oc=
⊙o的面積
能力提公升
一、選擇題
二、填空題
1.8cm，10cm 3.3 4.120°或60° 5.90°
三、解答題
1. 過o作of⊥cd於f，如右圖所示
∵ae=2，eb=6，∴oe=2，
∴of=1，ef=，鏈結od，
在rt△odf中，42=12+df2，df=，∴cd=2.
2. 鏈結ac、bd，∵c、d是三等分點，
∴ac=cd=db，且∠aoc=×90°=30°，
∵oa=oc，∴∠oac=∠oca=75°，
又∠aec=∠oae+∠aoe=45°+30°=75°，
∴ae=ac，
同理可證bf=bd，∴ae=bf=cd.
3. (1)⊙c經過座標原點o，且a、b為⊙c與座標軸的交點，有∠aob=90°
∴ab為直徑；
(2)∵∠bmo=120°，的比為1：2，∴它們所對的圓周角之比為∠bao:∠bmo=1：2
∴∠bao=60°，∴在rt△abo中，ab=2ao=8，∴⊙c的半徑為4；
作，垂足分別為點e、f
∴ae=oe，bf=of
在rt△abo中，ao=4，ob=
∴∴圓心c的座標為.
綜合**
1.（2，0）提示：如圖，作線段ab、bc的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心.
2.(1)ac、ad在ab的同旁，如右圖所示，作，垂足分別為點e、f
∵ab=16，ac=8，ad=8，
∴在rt△aoe中，
∴∠cab=60°，
同理可得∠dab=30°，
∴∠dac=30°.
(2)ac、ad在ab的異旁，同理可得：∠dac=60°+30°=90°
初三數學圓的基礎知識小練習
例7 圓錐的母線長為5cm，半徑為4cm，則圓錐的側面積是多少？解 圓錐的側面展開圖是形，展開圖的弧長等於 圓錐的側面積 知識點1 與圓有關的角 圓心角 圓周角 1 圖中的圓心角圓周角 2 如圖，已知 aob 50度，則 acb度 3 在上圖中，若ab是圓o的直徑，則 aob 度 2 圓的對稱性 1...
初三數學圓練習卷
1 如圖，已知半徑為2的 o與直線l相切於點a，點p是直徑ab左側半圓上的動點，過點p作直線l的垂線，垂足為c，pc與 o交於點d，連線pa pb，設pc的長為x 2 1 當x 時，求弦pa pb的長度 2 當x為何值時，pd pc的值最大？最大值是多少?2 如圖，在四邊形abcd中，dae abc...
初三數學圓大題
22.如圖，點d是 o的直徑ca延長線上一點，點b在 o 上，且ab ad ao.1 求證 bd是 o的切線.2 若點e是劣弧上一點，ae與bc相交於點f，且 abe 105 初三數學試卷 19.本小題滿分5分 如圖，cd與ab是 o內兩條相交的弦，且ab為 o的直徑，ce ab於點e，ce 5，連...