a級基礎達標演練
(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2012·煙台調研)稜長為2的正四面體的表面積是( )．
a. b．4 c．4 d．16
解析每個面的面積為：×2×2×＝.∴正四面體的表面積為：4.
答案 c
2．(2012·福州質檢)把球的表面積擴大到原來的2倍，那麼體積擴大到原來的
( )．
a．2倍 b．2倍 c.倍 d.倍
解析由題意知球的半徑擴大到原來的倍，則體積v＝πr3，知體積擴大到原來的2倍．
答案 b
3．(2012·濰坊模擬)如圖是乙個長方體截去乙個角後所得多面體的三檢視，則該多面體的體積為( )．
a. b. c. d.
解析根據三檢視的知識及特點，可畫出多面體
的形狀，如圖所示．這個多面體是由長方體截去
乙個正三稜錐而得到的，所以所求多面體的體積
v＝v長方體－v正三稜錐＝4×4×6－××2＝.
答案 b
4．(2011·溫州檢測(二))如圖所示，乙個空間幾何體的正(主)檢視和側(左)檢視都是邊長為2的正方形，俯檢視是乙個直徑為2的圓，則這個幾何體的全面積為
( )．
a．2π b．4π
c．6π d．8π
解析由三檢視知該空間幾何體為圓柱，所以其全面積為π×12×2＋2π×1×2＝6π.
答案 c
5．(2012·廈門模擬)已知某幾何體的三檢視如圖，其中正檢視中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為( )
a．24－π b．24－
c．24－π d．24－
解析據三檢視可得幾何體為一長方體內挖去乙個半圓柱，其中長方體的稜長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積v＝2×3×4－×π×12×3＝24－.
答案 a
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·福建)三稜錐pabc中，pa⊥底面abc，pa＝3，底面abc是邊長為2的正三角形，則三稜錐pabc的體積等於________．
解析依題意有，三稜錐pabc的體積v＝s△abc·|pa|＝××22×3＝.
答案 7．(2009·全國ⅱ)設oa是球o的半徑，m是oa的中點，過m且與oa成45°角的平面截球o的表面得到圓c.若圓c的面積等於，則球o的表面積等於________．
解析設圓c的半徑為r，有πr2＝.
得r2＝.又設球的半徑為r，如圖所示，
有ob＝r，oc＝·＝r，cb＝r.在rt△ocb中，有ob2＝oc2＋cb2，即r2＝r2＋r2r2＝，∴r2＝2，∴s球＝4πr2＝8π.
答案 8π
8．(2012·湖州模擬)如圖所示，已知乙個多面體的平面展開圖由乙個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________．
解析由題知該多面體為正四稜錐，底面邊長為1，側稜長為1，斜高為，連線頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積v＝×1×1×＝.
答案 三、解答題(共23分)
9．(11分)(2012·杭州模擬)某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四稜錐pefgh，下半部分是長方體abcdefgh.圖2、圖3分別是該標識墩的正檢視和俯檢視．
(1)請畫出該安全標識墩的側檢視；
(2)求該安全標識墩的體積．
解 (1)側檢視同正檢視，如圖所示：
(2)該安全標識墩的體積為
v＝vpefgh＋vabcdefgh
＝×402×60＋402×20
＝64 000(cm3)．
10．(12分)如圖，已知某幾何體的三檢視如下(單位：cm)．
(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；
(2)求這個幾何體的表面積及體積．
解 (1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．
(2)這個幾何體可看成是正方體ac1及直
三稜柱b1c1q-a1d1p的組合體．
由pa1＝pd1＝，a1d1＝ad＝2，可得
pa1⊥pd1.故所求幾何體的表面積
s＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4 (cm2)，
體積v＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
b級綜合創新備選
(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·江門一模)某型號的兒童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圓錐，其三檢視如圖所示，則該型號蛋糕的表面積s＝( )．
a．115 π b．110 π
c．105 π d．100 π
解析由三檢視可知，圓錐的母線長為＝13，該型號蛋糕的表面積s＝2π×52＋π×5×13＝115 π.
答案 a
2．(2011·遼寧)已知球的直徑sc＝4，a，b是該球球面上的兩點，ab＝，∠asc＝∠bsc＝30°，則稜錐s-abc的體積為( )．
a．3 b．2 c. d．1
解析由題可知ab一定在與直徑sc垂直的小圓面上，作過ab的小圓交直徑sc於d，設sd＝x，則dc＝4－x，此時所求稜錐即分割成兩個稜錐s-abd和c-abd，在△sad和△sbd中，由已知條件可得ad＝bd＝x，又因為sc為直徑，所以∠sbc＝∠sac＝90°，所以∠dcb＝∠dca＝60°，在△bdc中 ，bd＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，ad＝bd＝，所以三角形abd為正三角形，所以v＝s△abd×4＝.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．(2011·四川)如圖，半徑為r的球o中有一內接圓柱．當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面積之差是________．
解析由球的半徑為r，可知球的表面積為4πr2.
設內接圓柱底面半徑為r，高為2h，則h2＋r2＝r2.
而圓柱的側面積為2πr·2h＝4πrh≤4π＝2πr2(當且僅當r＝h時等號成立)，即內接圓柱的側面積最大值為2πr2，此時球的表面積與內接圓柱的側面積之差為2πr2.
答案 2πr2
4．(2012·南京調研)如圖，已知正三稜柱abca1b1c1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質點自點a出發，沿著三稜柱的側面繞行兩周到達點a1的最短路線的長為________cm.
解析根據題意，利用分割法將原三稜柱分割為兩個相同的三稜柱，然後將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為＝13 (cm)．
答案 13
三、解答題(共22分)
5．(10分)(2012·陽泉月考)已知某幾何體的俯檢視是如右圖所示的矩形，正檢視(或稱主檢視)是乙個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側檢視(或稱左檢視)是乙個底邊長為6、高為4的等腰三角形．
(1)求該幾何體的體積v；
(2)求該幾何體的側面積s.
解由題設可知，幾何體是乙個高為4的四稜錐，
其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側面及其相
對側面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、
右側面均為底邊長為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示．
(1)幾何體的體積為：v＝·s矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正側面及相對側面底邊上的高為：h1＝＝5.左、右側面的底邊上的高為：h2＝＝4.
故幾何體的側面面積為：
s＝2×＝40＋24.
6．(12分)四面體的六條稜中，有五條稜長都等於a.
(1)求該四面體的體積的最大值；
(2)當四面體的體積最大時，求其表面積．
解 (1)如圖，在四面體abcd中，設ab＝bc＝
cd＝ac＝bd＝a，ad＝x，取ad的中點為p，
bc的中點為e，連線bp、ep、cp.得到ad⊥平面bpc，
∴va-bcd＝va-bpc＋vd-bpc
＝·s△bpc·ap＋s△bpc·pd
＝·s△bpc·ad
＝··a·x
＝≤·＝a3(當且僅當x＝a時取等號)．
∴該四面體的體積的最大值為a3.
(2)由(1)知，△abc和△bcd都是邊長為a的正三角形，△abd和△acd是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a，
∴s表＝2×a2＋2××a×
＝a2＋a×＝a2＋
＝a2.
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