第節空間幾何體的表面積和體積
【選題明細表】
一、選擇題
1.(2013重慶青木關中學高三月考)如圖所示,乙個空間幾何體的正檢視、側檢視、俯檢視均為全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直角邊長為1,那麼這個幾何體的體積為( a )
(a) (b) (c) (d)1
解析:根據三檢視,可知該幾何體是三稜錐,如圖為該三稜錐的直觀圖,
三稜錐的底面是乙個腰長是1的等腰直角三角形,
∴底面的面積是×1×1=.
垂直於底面的側稜長是1,即高為1,
∴三稜錐的體積是××1=.
故選a.
2.乙個斜三稜柱(側稜與底面不垂直),底面是邊長為5的正三角形,側稜長為4,側稜與底面三角形兩邊所成的角都是60°,則這個斜三稜柱的側面積是( b )
(a)40 (b)20(1+)
(c)30(1+) (d)30
解析:如圖所示,若∠a1ac=∠a1ab=60°,則可證明bb1c1c為矩形,因此,s側=2+=2×4×5×sin 60°+4×5=20(1+).故選b.
3. (2013宜賓高三綜合考試)如圖所示,在三稜柱的側稜a1a和b1b上各有一動點p,q滿足a1p=bq,過p、q、c三點的截面把稜柱分成兩部分,則其體積之比為( b )
(a)3∶1 (b)2∶1
(c)4∶1 (d)∶1
解析:考查點p、q特殊位置時的情況:當p與a點重合,點q與b1點重合,設底面abc的面積為s,三稜柱高為h,則=sh=,∴截面所分成兩部分體積比為2∶1.故選b.
4.(2013成都高三檢測)p為矩形abcd所在平面外一點,且pa⊥平面abcd,pb=2,pc=,pd=,則四稜錐pabcd的體積等於( b )
(a)2 (b)4 (c)6 (d)12
解析:在rt△pbc中,bc=3,
在rt△pcd中,cd=2,
在rt△abc中,ac=,
在rt△pac中,pa=2,
∴v=×3×2×2=4.
故選b.
5.乙個幾何體的三檢視如圖所示,則該幾何體的體積(單位:cm3)為( a )
(a)π+ (b)2π+
(c)2π+ (d)π+
解析:由三檢視想象其直觀圖如圖,該組合體上部是乙個三稜錐,下部是一圓柱.由圖中資料知v圓柱=π×12×1=π.
三稜錐垂直於底面的側面是邊長為2的等邊三角形,故其高即為三稜錐的高,高為,故稜錐高為.
由於稜錐底面為一等腰直角三角形,且斜邊長為2,故兩直角邊長度都是,底面三角形的面積是××=1.
故v稜錐=×1×=,故該幾何體的體積是π+.故選a.
6. (2012北京市朝陽區高三上學期期末)已知正方形abcd的邊長為2,
將△abc沿對角線ac折起,使平面abc⊥平面acd,得到如圖所示的三稜錐bacd.若o為ac邊的中點,m,n分別為線段dc,bo上的動點(不包括端點),且bn=cm.設bn=x,則三稜錐namc的體積y=f(x)的函式圖象大致是( b )
解析:等腰△abc中,o為ac的中點,∴ob⊥ac.
又因ob平面bac,且平面abc⊥平面acd,
∴ob⊥平面acd,∴三稜錐namc的高為no,
rt△abc中,ab=bc=2,∴ob=2,∴no=2-x,
s△amc=x·2=x,
∴=(2-x)·x=(-x2+2x),
即f(x)=(-x2+2x)(0
二、填空題
7.(2012湖州模擬)如圖所示,已知乙個多面體的平面展開圖由乙個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是 .
解析:易知該幾何體是正四稜錐.
設正四稜錐pabcd,連線bd,
由pd=pb=1,bd=,則pd⊥pb.
設底面中心o,則四稜錐高po=,
則其體積是v=sh=×12×=.
答案:8.(2012韶關調研)如圖所示,bd是邊長為3的正方形abcd的對角線,將△bcd繞直線ab旋轉一周後形成的幾何體的體積等於 .
解析:旋轉後形成的幾何體是乙個圓柱體挖去乙個倒置的圓錐,其中圓柱、圓錐的底面半徑、高均為3,所以v=v柱體-v錐體=π×32×3-×π×32×3=18π.
答案:18π
9.(2013成都外國語學校高三月考)已知三稜柱abca1b1c1的側稜與底面邊長都相等且為1,a1在底面abc內的射影為△abc的中心o,則三稜柱abca1b1c1體積等於 .
解析:∵△abc為正三角形,
且邊長為1,
∴ao=×=,
∴a1o===,
∴=×12×=.
答案:10.已知乙個空間幾何體的三檢視如圖所示,且這個空間幾何體的所有頂點都在乙個球面上,則這個球的表面積是 .
解析:由三檢視可知,這個空間幾何體是乙個各稜長都為2的正三稜柱,如圖所示,其中o1、o2是上、下底面的中心,o是上下底面中心的連線的中點,則oa就是其外接球的半徑,故oo2=1,o2a=,所以oa2=1+=,故其外接球的表面積是4π×=.
答案:三、解答題
11.某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖(1)所示.墩的上半部分是正四稜錐pefgh(底面為正方形,從頂點向底面作垂線,垂足是底面中心),下半部分是長方體abcdefgh.
圖(2)、圖(3)分別是該標識墩的正檢視和俯檢視.
(1)請畫出該安全標識墩的側檢視;
(2)求該安全標識墩的體積.
解:(1)側檢視如圖所示.
(2)該安全標識墩的體積
v=+=×402×60+402×20
=32000+32000=64000(cm3).
12.如圖所示,在邊長為5+的正方形abcd中,以a為圓心畫乙個扇形,以o為圓心畫乙個圓,m,n,k為切點,以扇形為圓錐的側面,以圓o為圓錐底面,圍成乙個圓錐,求圓錐的表面積與體積.
解:設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,高為h,
由已知條件,
解得r=,l=4,
s=πrl+πr2=10π,
h==,
v=πr2h=.
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