2019屆高考理科理數學第一輪知識點總複習測試題

第節空間點、直線、平面的位置關係

【選題明細表】

一、選擇題

1.(2013成都市雙流中學高三月考)l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是(　b　)

(a)l1⊥l2,l2⊥l3l1∥l3

(b)l1⊥l2,l2∥l3l1⊥l3

(c)l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面

(d)l1,l2,l3共點l1,l2,l3共面

解析:選項a中,l1與l3平行、相交、異面都有可能,選項c、d中l1,l2,l3也可能不共面,選項b正確.故選b.

2.以下四個命題中,正確命題的個數是(　b　)

①不共面的四點中,其中任意三點不共線;

②若點a、b、c、d共面,點a、b、c、e共面,則a、b、c、d、e共面;

③若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面;

④依次首尾相接的四條線段必共面

(a)0 (b)1 (c)2 (d)3

解析:①中,假設存在三點共線,則這四點必共面,與題設矛盾,故①正確;

②中,若a、b、c三點共線,則a、b、c、d、e有可能不共面,故②錯誤;

③中,如圖所示正方體的稜中,a、b共面,a、c共面,而b、c異面,故③錯誤;

④中,空間四邊形的四條線段不共面,故④錯誤,故選b.

3.(2012重慶模擬)若兩條直線和乙個平面相交成等角,則這兩條直線的位置關係是(　d　)

(a)平行 (b)異面

(c)相交 (d)平行、異面或相交

解析:經驗證,當平行、異面或相交時,均有兩條直線和乙個平面相交成等角的情況出現,故選d.

4.(2013樂山市高三第三次調研)正六稜柱abcdefa1b1c1d1e1f1的底面邊長為1,側稜長為,則這個稜柱的側面對角線e1d與bc1所成的角為(　c　)

(a) (b) (c) (d)

解析:連線ba1、a1c1,易求得ba1=bc1=,而△a1b1c1中,a1b1=b1c1=1,∠a1b1c1=120°,解得a1c1=,

故∠a1bc1=.因為ba1∥de1,故e1d與bc1所成的角為.故選c.

5.已知a、b是兩個不同的點,m、n是兩條不重合的直線,α、β是兩個不重合的平面,則①mα,a∈ma∈α;②m∩n=a,a∈α,b∈mb∈α;③mα,nβ,m∥nα∥β;④mα,m⊥βα⊥β.其中真命題為(　c　)

(a)①③ (b)②③ (c)①④ (d)②④

解析:根據平面的性質,可知①正確,②中不能確定b∈α,③中α與β可能平行、也可能相交,④中根據面面垂直判定可知正確,故①④為真命題.故選c.

6.如圖所示是正方體或四面體,p、q、r、s分別是所在稜的中點,這四個點不共面的乙個圖是(　d　)

解析:在a圖中分別連線ps、qr,

易證ps∥qr,

∴p、s、r、q共面;

在c圖中分別連線pq、rs,

易證pq∥rs,∴p、q、r、s共面.

在b圖中過p、q、r、s可作一正六邊形,故四點共面.

d圖中ps與rq為異面直線,∴四點不共面,故選d.

二、填空題

7.對於空間三條直線,有下列四個條件:

①三條直線兩兩相交且不共點;

②三條直線兩兩平行;

③三條直線共點;

④有兩條直線平行,第三條直線和這兩條直線都相交.

其中使三條直線共面的充分條件有　　　　.

解析:易知①中的三條直線一定共面;三稜柱三側稜兩兩平行,但不共面,故②錯;如三稜錐三側稜交於一點,但不共面,故③錯;④中兩條直線平行可確定乙個平面,第三條直線和這兩條直線相交於兩點,則第三條直線也在這個平面內,故三條直線共面.

答案:①④

8.(2013成都七中高三模擬)如圖所示,∠bac=90°的等腰直角三角形abc與正三角形bcd所在平面互相垂直,e是線段bd的中點,則ae與cd所成角的大小為　　　.

解析:如圖所示,過a作af⊥bc於f,

則af⊥平面bcd,連線ef,則ef∥cd,∠aef即為ae與cd所成角,

令ab=ac=1,

則bc=bd=dc=,

∴ef=dc=.

又af⊥ef,

af=bc=,

∴∠aef=45°.

即ae與cd所成角的大小為45°.

答案:45°

9.如圖所示為稜長是1的正方體的表面展開圖,在原正方體中,給出下列三個結論:

①點m到ab的距離為;

②三稜錐cdne的體積是;

③ab與ef所成的角是.

其中正確結論的序號是　　　　.

解析:依題意可作出正方體的直觀圖,顯然m到ab的距離為mc=,

∴①正確,

而=××1×1×1=,

∴②正確,

ab與ef所成的角為ab與mc所成的角,即為,

∴③正確.

答案:①②③

三、解答題

10.如圖所示,在四面體abcd中作截面pqr,若pq、cb的延長線交於點m,rq、db的延長線交於點n,rp、dc的延長線交於點k,求證:m、n、k三點共線.

證明:∵m∈pq,直線pq平面pqr,m∈bc,直線bc平面bcd,

∴m是平面pqr與平面bcd的乙個公共點,

即m在平面pqr與平面bcd的交線上.

同理可證n、k也在平面pqr與平面bcd的交線上.

又如果兩個平面有乙個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線,

∴m、n、k三點共線.

11.已知空間四邊形abcd中,ab=cd=3,e、f分別是bc、ad上的點,並且be∶ec=af∶fd=1∶2,ef=,求ab和cd所成角的余弦值.

解:如圖所示,在bd上取點g,

使bg∶gd=1∶2,

連線eg、fg.

在△bcd中,∵==,

∴eg∥cd,且ge∶cd=1∶3,

同理fg∥ab,且fg∶ab=2∶3,

∴eg與fg所成的角即為ab與cd所成的角.

在△bcd中,∵eg∥cd,cd=3,

且eg∶cd=1∶3,

∴eg=1.

在△abd中,

∵fg∥ab,ab=3,fg∶ab=2∶3,

∴fg=2.

在△efg中,eg=1,fg=2,ef=,

由餘弦定理得cos∠egf==-,

∵異面直線所成角θ的範圍是0°<θ≤90°,

∴cos θ≥0.

∴ab與cd所成角的余弦值為.

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