6．設f1、f2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝上存在點p使線段pf1的中垂線過點f2，則橢圓離心率e的取值範圍是________．
解析設p，f1p的中點q的座標為，當y≠0時，有kf1p＝，kqf2＝，由kf1p·kqf2＝－1得y2＝，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，即3c2－a2>0，即e2>，故8．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1、f2，離心率為e，若橢圓上存在點p，使得＝e，則該離心率e的取值範圍是________．
解析因為pf1＝epf2，pf1＋pf2＝2a，所以pf1＝，pf2＝，因為e∈(0,1)，所以pf1＜pf2.由橢圓性質知a－c≤pf1≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，即a－c≤≤a＋c，即a2－c2≤2ac≤(a＋c)2，即e2＋2e－1≥0.又0＜e＜1，所以－1≤e＜1.
二、解答題
11．已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1，f2，其上的動點m到乙個焦點的距離最大為3，點m對f1、f2的張角最大為60°.
(1)求橢圓c的方程；
(2)設橢圓c在x軸上的兩個頂點分別為a，b，點p是橢圓c內的動點，且pa·pb＝po2，求·的取值範圍．
解 (1)設m(x0，y0)，由橢圓的第二定義，知
mf2＝e＝a－ex0.
∵－a≤x0≤a，∴當x0＝－a時，(mf2)max＝a＋ea＝a＋c，
∴a＋c＝3
又mf1＝2a－mf2＝a＋ex0，f1f2＝2c，
∵(∠f1mf2)max＝60°，∴(cos∠f1mf2)min＝.
而cos∠f1mf2＝
＝＝－1＝－1.
故當x0＝0時，(cos∠f1mf2)min＝－1＝，∴＝.
即a＝2c
由①②，得a＝2，c＝1，∴b＝.
故橢圓c的方程為＋＝1.
(2)設p(x，y)，則
由④，得y2＝x2－2
∴x2≥2，⑤代入③，得＋<1.
∴x2<.∴2≤x2<. ∴·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4
＝x2＋(x2－2)－4＝2x2－6∈.故·的取值範圍為.
12．給出雙曲線x2－＝1.
(1)求以a(2,1)為中點的弦所在的直線方程；
(2)若過點a(2,1)的直線l與所給雙曲線交於p1，p2兩點，求線段p1p2的中點p的軌跡方程；
(3)過點b(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交於兩點q1，q2，且b是q1q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．
解 (1)設弦的兩端點為p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，
則兩式相減得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直線斜率k＝＝4.故求得直線方程為4x－y－7＝0.
(2)設p(x，y)，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)， 按照(1)的解法可得
由於p1，p2，p，a四點共線， 得
由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，檢驗當x1＝x2時，x＝2，y＝0也滿足方程，故p1p2的中點p的軌跡方程是2x2－y2－4x＋y＝0.
(3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y＝2x－1.
考慮到方程組無解，因此滿足題設條件的直線m是不存在的.
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