概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
函式七．求函式解析式的常用方法：
1．待定係數法——已知所求函式的型別（二次函式的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函式的表達形式）。如
已知為二次函式，且，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式。
（答：）
2．代換（配湊）法——已知形如的表示式，求的表示式。如
（1）已知求的解析式
（答：）；
（2）若，則函式=_____
（答：）；
（3）若函式是定義在r上的奇函式，且當時，，那麼當時
（答：）.
這裡需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。
3．方程的思想——已知條件是含有及另外乙個函式的等式，可抓住等式的特徵對等式的進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。如
（1）已知，求的解析式
（答：）；
（2）已知是奇函式，是偶函式，且+=,則= _
（答：）。
八．反函式：
1．存在反函式的條件是對於原來函式值域中的任乙個值，都有唯一的值與之對應，故單調函式一定存在反函式，但反之不成立；偶函式只有有反函式；週期函式一定不存在反函式。如
函式在區間[1, 2]上存在反函式的充要條件是
a、 b、 c、 d、
（答：d）
2．求反函式的步驟：①反求；②互換、；③註明反函式的定義域（原來函式的值域）。注意函式的反函式不是，而是。如
設.求的反函式
（答：）．
3．反函式的性質：
①反函式的定義域是原來函式的值域，反函式的值域是原來函式的定義域。如
單調遞增函式滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函式的定義域為，則的定義域是
（答：[4,7]）
②函式的圖象與其反函式的圖象關於直線對稱，注意函式的圖象與的圖象相同。如
（1）已知函式的圖象過點(1,1),那麼的反函式的圖象一定經過點_
（答：（1,3）
（2）已知函式，若函式與的圖象關於直線對稱，求的值
（答：）
③。如（1）已知函式，則方程的解______
（答：1）
（2）設函式f(x)的圖象關於點（1,2）對稱，且存在反函式，f (4)＝0，則＝
（答：－2）
④互為反函式的兩個函式具有相同的單調性和奇函式性。如
已知是上的增函式，點在它的圖象上，是它的反函式，那麼不等式的解集為________
（答：（2,8）
⑤設的定義域為a，值域為b，則有，
，但。九．函式的奇偶性。
1．具有奇偶性的函式的定義域的特徵：定義域必須關於原點對稱！為此確定函式的奇偶性時，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱。如
若函式，為奇函式，其中，則的值是
（答：0）
2．確定函式奇偶性的常用方法（若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函式的奇偶性____（答：奇函式）。
②利用函式奇偶性定義的等價形式：或（）。如
判斷的奇偶性___.（答：偶函式）
③影象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱。
3．函式奇偶性的性質：
①奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函式有反函式，那麼其反函式一定還是奇函式.
③若為偶函式，則.如
若定義在r上的偶函式在上是減函式，且=2，則不等式的解集為______.
（答：）
④若奇函式定義域中含有0，則必有.故是為奇函式的既不充分也不必要條件。如
若為奇函式，則實數＝____（答：1）
⑤定義在關於原點對稱區間上的任意乙個函式，都可表示成「乙個奇函式與乙個偶函式的和（或差）」。如
設是定義域為r的任一函式，，。①判斷與的奇偶性； ②若將函式，表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和，則＝____
（答：①為偶函式，為奇函式；②＝）
⑥復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
⑦既奇又偶函式有無窮多個（，定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）.
十．函式的單調性。
1．確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值——作差——變形——定號）、導數法（在區間內，若總有，則為增函式；反之，若在區間內為增函式，則，請注意兩者的區別所在。如
已知函式在區間上是增函式，則的取值範圍是____
(答：）)；
②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為。如
（1）若函式在區間（－∞，4]上是減函式，那麼實數的取值範圍是______
(答：）)；
（2）已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____
（答：）；
（3）若函式的值域為r，則實數的取值範圍是______
(答：且）)；
③復合函式法：復合函式單調性的特點是同增異減，如
函式的單調遞增區間是________
(答：（1,2）)。
2．特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域，如若函式在區間上為減函式，求的取值範圍（答：）；二是在多個單調區間之間不一定能新增符號「」和「或」；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示．
3．你注意到函式單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求引數範圍）.如已知奇函式是定義在上的減函式,若，求實數的取值範圍。（答：）
十一．常見的圖象變換
1．函式的圖象是把函式的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如
設的影象與的影象關於直線對稱，的影象由的影象向右平移1個單位得到，則為
(答：)
2．函式(的圖象是把函式的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如
（1）若，則函式的最小值為____
(答：2)
（2）要得到的影象，只需作關於_____軸對稱的影象，再向____平移3個單位而得到
(答：；右)
（3）函式的圖象與軸的交點個數有____個
(答：2)
3．函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向上平移個單位得到的；
4．函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如
將函式的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線對稱,那麼
(答：c)
5．函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如
（1）將函式的影象上所有點的橫座標變為原來的（縱座標不變），再將此影象沿軸方向向左平移2個單位，所得影象對應的函式為_____
(答：)
（2）如若函式是偶函式，則函式的對稱軸方程是_______
(答：)
6．函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
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