2019高考數學易錯點剖析

【易錯點10】在涉及指對型函式的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函式的真數的限制條件。

例10、是否存在實數a使函式在上是增函式？若存在求出a的值，若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數函式的單調性及復合函式的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數函式的真數大於零這個限制條件而導致a的範圍擴大。

解析：函式是由和復合而成的，根據復合函式的單調性的判斷方法（1）當a>1時，若使在上是增函式，則在上是增函式且大於零。故有解得a>1。

（2）當a<1時若使在上是增函式，則在上是減函式且大於零。不等式組無解。綜上所述存在實數a>1使得函式在上是增函式

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函式的單調性如：一次函式的單調性取決於一次項係數的符號，二次函式的單調性決定於二次項係數的符號及對稱軸的位置，指數函式、對數函式的單調性決定於其底數的範圍（大於1還是小於1），特別在解決涉及指、對復合函式的單調性問題時要樹立分類討論的數學思想（對數型函式還要注意定義域的限制）。

【練10】（1）設，且試求函式的的單調區間。

答案：當，函式在上單調遞減在上單調遞增當函式在上單調遞增在上單調遞減。

（2）若函式在區間內單調遞增，則的取值範圍是（）abc、 d、

答案：b.（記，則當時，要使得是增函式，則需有恆成立，所以.矛盾.排除c、d當時，要使是函式，則需有恆成立，所以.排除a）

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