2019高考數學易錯點剖析

【易錯點60】在求異面直線所成角，直線與平面所成的角以及二面角時，容易忽視各自所成角的範圍而出現錯誤。

例60、如圖，在稜長為1的正方體中，m，n，p分別為的中點。求異面直線所成的角。

[易錯點分析]異面直線所成角的範圍是，在利用餘弦定理求異面直線所成角時，若出現角的余弦值為負值，錯誤的得出異面直線所成的角為鈍角，此時應轉化為正值求出相應的銳角才是異面直線所成的角。

解析：如圖，鏈結，由為中點，

則從而故am和所成的角為所成的角。

易證≌。所以，

故所成的角為。

又設ab的中點為q，則又從而cn與am所成的角就是（或其補角）。

易求得在中，由餘弦定理得，

故所成的角為。

【知識點歸類點撥】在歷屆高考中，求夾角是不可缺少的重要題型之一，要牢記各類角的範圍，兩條異面直線所成的角的範圍：；直線與平面所成角的範圍：；二面角的平面角的取值範圍：。

同時在用向量求解兩異面直線所成的角時，要注意兩異面直線所成的角與兩向量的夾角的聯絡與區別。

【練60】已知平行六面體--中，底面是邊長為1的的正方形，側稜的長為2，且側稜和與的夾角都等於，（1）求對角線的長（2）求直線與的夾角值。答案：（1）（2）（提示採用向量方法，以、、為一組基底，求得故兩異面直線所成的角的余弦值為）

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