2019高考數學易錯點剖析

【易錯點19】用判別式判定方程解的個數（或交點的個數）時，易忽略討論二次項的係數是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.

例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關係，一般將直線與曲線的方程聯立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元後轉化為關於x或y的方程後，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。

解析：聯立方程組消去y得到（1）當時，即，方程為關於x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有乙個交點。（2）當時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有乙個交點（3）當時，方程組有兩個交點此時且。

（4）當時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

綜上知當或時直線與雙曲線只有乙個交點，當且。時直線與雙曲線有兩個交點，當或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關係有兩種方法：，並且這兩種方法的對應關係如下上題中的第一種情況對應於直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有乙個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有乙個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應於直線與雙曲線相切。

通過本題可以加深體會這種數與形的統一。

【練19】（1）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點分別為的左右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點a和b滿足，其中o為原點，求k的取值範圍。答案：

（1）（2）

（2）已知雙曲線c：，過點p（1，1）作直線l, 使l與c有且只有乙個公共點，則滿足上述條件的直線l共有____條。答案：

4條（可知kl存在時，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-

(1-k2)-4=0,∴ 當4-k2=0即k=±2時，有乙個公共點；當k≠±2時，由δ=0有，有乙個切點另：當kl不存在時，x=1也和曲線c有乙個切點∴綜上，共有4條滿足條件的直線）