2019高考數學易錯點剖析

【易錯點9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變數值是否在定義域限制範圍之內。

例9、已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+( +)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。

【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即「一正、二定、三相等」，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變數的值是否在其定義域限制範圍內。

【練9】甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例係數為b;固定部分為a元。

（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函式，並指出這個函式的定義域；

（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

答案為:（1）（2）使全程運輸成本最小，當≤c時，行駛速度v=；當＞c時，行駛速度v=c。