概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
函式一．對映: ab的概念。在理解對映概念時要注意：
㈠中元素必須都有象且唯一；㈡b中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：
（1）設是集合到的對映，下列說法正確的是
a、中每乙個元素在中必有象
b、中每乙個元素在中必有原象
c、中每乙個元素在中的原象是唯一的
d、是中所在元素的象的集合
（答：a）；
（2）點在對映的作用下的象是，則在作用下點的原象為點________
（答：（2，－1））；
（3）若，，，則到的對映有個，到的對映有個，到的函式有個
（答：81,64,81）；
（4）設集合，對映滿足條件「對任意的，是奇數」，這樣的對映有____個
（答：12）；
（5）設是集合a到集合b的對映，若b=，則一定是_____
（答：或）.
二．函式: ab是特殊的對映。特殊在定義域a和值域b都是非空數集！據此可知函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如：
（1）已知函式，，那麼集合中所含元素的個數有個
（答： 0或1）；
（2）若函式的定義域、值域都是閉區間，則＝
（答：2）
三．同一函式的概念。構成函式的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函式的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函式。如
若一系列函式的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函式為「天一函式」，那麼解析式為，值域為的「天一函式」共有______個
（答：9）
四．求函式定義域的常用方法（在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
1．根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。如
（1）函式的定義域是____
(答：)；
（2）若函式的定義域為r，則_______
(答：)；
（3）函式的定義域是，，則函式的定義域是
(答：)；
（4）設函式，①若的定義域是r，求實數的取值範圍；②若的值域是r，求實數的取值範圍
（答：①；②）
2．根據實際問題的要求確定自變數的範圍。
3．復合函式的定義域：若已知的定義域為,其復合函式的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當於當時，求的值域（即的定義域）。如
（1）若函式的定義域為，則的定義域為
（答：）；
（2）若函式的定義域為，則函式的定義域為________
（答：[1,5]）．
五．求函式值域（最值）的方法：
1．配方法——二次函式（二次函式在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函式的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係），如
（1）求函式的值域
（答：[4,8]）；
（2）當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___
（答：）；
（3）已知的圖象過點（2,1），則的值域為______
（答：[2, 5]）
2．換元法——通過換元把乙個較複雜的函式變為簡單易求值域的函式，其函式特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，如
（1）的值域為_____
（答：）；
（2）的值域為_____
（答：）
（3）的值域為____
（答：）；
（4）的值域為____
（答：）；
3．函式有界性法——直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，來確定所求函式的值域，最常用的就是三角函式的有界性，如
求函式，，的值域
（答：、（0,1）、）；
4．單調性法——利用一次函式，反比例函式，指數函式，對數函式等函式的單調性，如
求，，的值域
（答：、、）；
5．數形結合法——函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如
（1）已知點在圓上，求及的取值範圍
（答：、）；
（2）求函式的值域
（答：）；
（3）求函式及的值域
（答：、）
注意：求兩點距離之和時，要將函式式變形，使兩定點在軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側。
6．判別式法——對分式函式（分子或分母中有乙個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式後，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性質，如
求的值域
（答：）
②型，先化簡，再用均值不等式，如
（1）求的值域
（答：）；
（2）求函式的值域
（答：）
③型，通常用判別式法；如
已知函式的定義域為r，值域為[0，2]，求常數的值
（答：）
④型，可用判別式法或均值不等式法，如
求的值域
（答：）
7．不等式法——利用基本不等式求函式的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如
設成等差數列，成等比數列，則的取值範圍是__.
（答：）。
8．導數法——一般適用於高次多項式函式，如
求函式，的最小值。
（答：－48）
提醒：（1）求函式的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？
（2）函式的最值與值域之間有何關係？
六．分段函式的概念。分段函式是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關係的函式，它是一類較特殊的函式。在求分段函式的值時，一定首先要判斷屬於定義域的哪個子集，然後再代相應的關係式；分段函式的值域應是其定義域內不同子集上各關係式的取值範圍的並集。
如（1）設函式，則使得的自變數的取值範圍是__
（答：）；
（2）已知，則不等式的解集_____
（答：）
2019屆高考數學易錯點與應試技巧總結
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