在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：「反證法是數學家最精當的**之一」。一般來講，反證法常用來證明的題型有：
命題的結論以「否定形式」、「至少」或「至多」、「唯一」、「無限」形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分乾脆。
ⅰ、再現性題組：
1. 已知函式f(x)在其定義域內是減函式，則方程f(x)＝0 ______。
a.至多乙個實根 b.至少乙個實根 c.乙個實根 d.無實根
2. 已知a<0,－1a. a>ab> ab b. ab>ab>a c. ab>a> ab d. ab> ab>a
3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。
a. a、b都與l相交b. a、b中至少一條與l相交
c. a、b中至多有一條與l相交 d. a、b都與l相交
4. 四面體頂點和各稜的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。(97年全國理)
a. 150種 b. 147種 c. 144種 d. 141種
【簡解】1小題：從結論入手，假設四個選擇項逐一成立，匯出其中三個與特例矛盾，選a；
2小題：採用「特殊值法」，取a＝－1、b＝－0.5，選d；
3小題：從逐一假設選擇項成立著手分析，選b；
4小題：分析清楚結論的幾種情況，列式是：c－c×4－3－6,選d。
sc ao
bⅱ、示範性題組：
例1. 如圖，設sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點。求證：ac與平面sob不垂直。
【分析】結論是「不垂直」，呈「否定性」，考慮使用反證法，即假設「垂直」後再匯出矛盾後，再肯定「不垂直」。
【證明】 假設ac⊥平面sob，
∵ 直線so在平面sob內， ∴ ac⊥so，
∵ so⊥底面圓o， ∴ so⊥ab，
∴ so⊥平面sab， ∴平面sab∥底面圓o，
這顯然出現矛盾，所以假設不成立。
即ac與平面sob不垂直。
【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有乙個方程有實根。試求實數a的取值範圍。
【分析】 三個方程至少有乙個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的範圍，再所得範圍的補集就是正面情況的答案。
【解】 設三個方程均無實根，則有：
,解得,即－所以當a≥－1或a≤－時，三個方程至少有乙個方程有實根。
【注】「至少」、「至多」問題經常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了「判別式法」、「補集法」（全集r），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（△≥0）a的取值範圍，再將三個範圍並起來，即求集合的並集。兩種解法，要求對不等式解集的交、並、補概念和運算理解透徹。
例3. 給定實數a，a≠0且a≠1，設函式y＝(其中x∈r且x≠)，證明：①.
經過這個函式影象上任意兩個不同點的直線不平行於x軸； ②.這個函式的影象關於直線y＝x成軸對稱影象。(88年全國理)。
【分析】「不平行」的否定是「平行」，假設「平行」後得出矛盾從而推翻假設。
【證明】 ① 設m (x,y)、m (x,y)是函式影象上任意兩個不同的點，則x≠x,
假設直線mm平行於x軸，則必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知「a≠1」矛盾，
因此假設不對，即直線mm不平行於x軸。
② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
即原函式y＝的反函式為y＝，影象一致。
由互為反函式的兩個影象關於直線y＝x對稱可以得到，函式y＝的影象關於直線y＝x成軸對稱影象。
【注】對於「不平行」的否定性結論使用反證法，在假設「平行」的情況下，容易得到一些性質，經過正確無誤的推理，匯出與已知a≠1互相矛盾。第②問中，對稱問題使用反函式對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函式求法和性質運用熟練。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 已知f(x)＝，求證：當x≠x時，f(x)≠f(x)。
2. 已知非零實數a、b、c成等差數列，a≠c，求證：、、不可能成等差數列。
3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有乙個不小於。
4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關於直線x＋y＝0對稱的兩點。
5. 已知a、b∈r，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小於1。
afdb m nec
6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，m、n在相應對角線上，且有em＝cn，求證：mn不可能垂直cf。
第二章高中數學常用的數學思想
一、數形結合思想方法
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函式等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是乙個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯絡，即以形作為手段，數為目的，比如應用函式的影象來直觀地說明函式的性質；或者是借助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。
「數」與「形」是一對矛盾，宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定引數的取值範圍。
數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函式的定義是借助於直角三角形來定義的；任意角的三角函式是借助於直角座標系或單位圓來定義的。
ⅰ、再現性題組：
5. 設命題甲：0a.充分非必要條件 b.必要非充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件
6. 若log2a. 0b>1 d. b>a>1
7. 如果|x|≤,那麼函式f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全國文)
abc. －1d.
8. 如果奇函式f(x)在區間[3,7]上是增函式且最小值是5，那麼f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)
a.增函式且最小值為－5b.增函式且最大值為－5
c.減函式且最小值為－5d.減函式且最大值為－5
9. 設全集i＝，集合m＝，n＝，那麼等於_____。 (90年全國)
ab. c. (2,3) d. {(x,y)|y＝x＋1
10. 如果θ是第二象限的角，且滿足cos－sin＝,那麼是_____。
a.第一象限角 b.第三象限角 c.可能第一象限角，也可能第三象限角 d.第二象限角
11. 已知集合e＝{θ|cosθab. (,) c. (π,) d
12. 若複數z的輻角為，實部為－2，則z＝_____。
a. －2－2ｉ b. －2＋2ｉ c. －2＋2ｉ d. －2－2ｉ
13. 如果實數x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那麼的最大值是_____。 (90年全國理)
a. b. cd.
14. 滿足方程|z＋3－ｉ|＝的輻角主值最小的複數z是_____。
【簡解】1小題：將不等式解集用數軸表示，可以看出，甲＝>乙，選a;
2小題：由已知畫出對數曲線，選b；
3小題：設sinx＝t後借助二次函式的影象求f(x)的最小值，選d；
4小題：由奇函式影象關於原點對稱畫出影象，選b；
5小題：將幾個集合的幾何意義用圖形表示出來，選b；
6小題：利用單位圓確定符號及象限；選b；
7小題：利用單位圓，選a；
8小題：將複數表示在復平面上，選b；
9小題：轉化為圓上動點與原點連線的斜率範圍問題；選d；
10小題：利用復平面上覆數表示和兩點之間的距離公式求解,答案－＋ｉ。
【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數有關的問題，即借助數軸（①題）、影象（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。
y 4 y=1-m
1 o 2 3 x
ⅱ、示範性題組：
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數m的取值範圍。
【分析】將對數方程進行等價變形，轉化為一元二次方程在某個範圍內有實解的問題，再利用二次函式的影象進行解決。
全 高中數學知識總結
三 選擇題解答策略 近幾年來高考數學試題中選擇題穩定在14 15道題，分值65分，佔總分的43.3 高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數學思想和方法，體現基礎知識求深度的考基礎考能力的導向 使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區分度的基本題型。因此能否在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重...
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第一章高中數學解題基本方法 一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完...
高中數學知識總結蘇教版
必修一第一章集合與函式概念 1.用字母表示下列集合。自然數集正整數集整數集有理數集實數集 2 交集與並集的性質 a a aa b a a aa b 補集性質 cu cuacua a cua a 3 函式單調性 1 增函式 設函式y f x 的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變...