概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
數列一．數列的概念：數列是乙個定義域為正整數集n*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函式，數列的通項公式也就是相應函式的解析式。如
（1）已知，則在數列的最大項為__
（答：）；
（2）數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關係為___
（答： ）；
（3）已知數列中，，且是遞增數列，求實數的取值範圍
（答：）；
（4）一給定函式的圖象在下列圖中，並且對任意，由關係式得到的數列滿足，則該函式的圖象是 （）
（答：a）
二．等差數列的有關概念：
1．等差數列的判斷方法：定義法或。如
設是等差數列，求證：以bn=為通項公式的數列為等差數列。
2．等差數列的通項：或。如
(1)等差數列中，，，則通項
（答：）；
（2）首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值範圍是______
（答：）
3．等差數列的前和：，。如
（1）數列中，，，前n項和，則＝＿，＝＿
（答：，）；
（2）已知數列的前n項和，求數列的前項和
（答：）.
4．等差中項：若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。
提醒：（1）等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；偶數個數成等差，可設為…，,…（公差為2）
三．等差數列的性質：
1．當公差時，等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；前和是關於的二次函式且常數項為0.
2．若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
3．當時,則有，特別地，當時，則有.如
（1）等差數列中，，則＝____
（答：27）；
（2）在等差數列中，，且，是其前項和，則
a、都小於0，都大於0
b、都小於0，都大於0
c、都小於0，都大於0
d、都小於0，都大於0
（答：b）
4．若、是等差數列，則、(、是非零常數)、、，…也成等差數列，而成等比數列；若是等比數列，且，則是等差數列. 如
等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為
（答：225）
5．在等差數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，，（這裡即）；。如
（1）在等差數列中，s11＝22，則＝______
（答：2）；
（2）項數為奇數的等差數列中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數
（答：5；31）.
6．若等差數列、的前和分別為、，且，則
.如設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那麼
（答：）
7．「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：
因等差數列前項是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函式思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如（1）等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？並求此最大值。
（答：前13項和最大，最大值為169）；
（2）若是等差數列，首項，
，則使前n項和成立的最大正整數n是
（答：4006）
8．如果兩等差數列有公共項，那麼由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數. 注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究.
四．等比數列的有關概念：
1．等比數列的判斷方法：定義法，其中或
。如（1）乙個等比數列{}共有項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則為____
（答：）；
（2）數列中， =4+1 ()且=1，若，求證：數列｛｝是等比數列。
2．等比數列的通項：或。如
設等比數列中，，，前項和＝126，求和公比.
（答：，或2）
3．等比數列的前和：當時，；當時， 。如
（1）等比數列中，＝2，s99=77，求
（答：44）；
（2）的值為
（答：2046）；
特別提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
4．等比中項：若成等比數列，那麼a叫做與的等比中項。
提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數的等差中項為a，等比中項為b，則a與b的大小關係為______（答：a＞b）
提醒：（1）等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。
只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為）；但偶數個數成等比時，不能設為…，…，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數，其中前三個數成等差數列，後三個成等比數列，且第乙個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：
15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.如
（1）在等比數列中，，公比q是整數，則=___
（答：512）；
（2）各項均為正數的等比數列中，若，則
（答：10）。
(2) 若是等比數列，則、、成等比數列；若成等比數列，則、成等比數列； 若是等比數列，且公比，則數列，…也是等比數列。當，且為偶數時，數列，…是常數數列0，它不是等比數列. 如
（1）已知且，設數列滿足，且，則 .
（答：）；
（2）在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為______
（答：40）
(3)若，則為遞增數列；若, 則為遞減數列；若，則為遞減數列；若, 則為遞增數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(4) 當時，，這裡，但，這是等比數列前項和公式的乙個特徵，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。如若是等比數列，且，則＝
（答：－1）
(5).如設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為_____
（答：－2）
(6) 在等比數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，.
(7)如果數列既成等差數列又成等比數列，那麼數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。如設
數列的前項和為（）， 關於數列有下列三個命題：①若，則既是等差數列又是等比數列；②若，則是等差數列；③若，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是
（答：②③）
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