平面向量
【例1】 判斷下列命題是否正確，並說明理由：
（1）共線向量一定在同一條直線上
（2）所有的單位向量都相等
（3）向量共線，共線，則共線
（4）向量共線，則
（5）向量，則
（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量
【例2】 給出命題
⑴零向量的長度為零，方向是任意的.
⑵若，都是單位向量，則＝.
⑶向量與向量相等.
⑷若非零向量與是共線向量，則，，，四點共線.
以上命題中，正確命題序號是（ ）
a．⑴ bcd．⑴⑷
【例3】 下列命題正確的是（ ）
a.與共線，與共線，則與也共線
b.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點
c.向量與不共線，則與都是非零向量
d.有相同起點的兩個非零向量不平行
【例4】 下列命題中正確的有
⑴四邊形是平行四邊形當且僅當；
⑵向量與是兩平行向量；
⑶向量與是共線向量，則，，，四點必在同一直線上；
⑷單位向量不一定都相等；
⑸與共線，與共線，則與也共線；
⑹平行向量的方向一定相同；
【例5】 判斷下列各命題是否正確
(1)零向量沒有方向2)若，則
(3)單位向量都相等4) 向量就是有向線段
(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，，則；
(7)若，，則
(8)若四邊形abcd是平行四邊形,則
(9)的充要條件是且；
【例6】 在四邊形abcd中，「」是「四邊形abcd為梯形」的
a、充分不必要條件b、必要不充分條件
c、充要條件d、既不充分也不必要條件
【例7】 平面向量，共線的充要條件是（ ）
a．，方向相同b．，兩向量中至少有乙個為零向量
cd．存在不全為零的實數，，
【例8】 給出下列命題：
①若，則；
②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
③若，，則；
④的充要條件是且；
⑤若，，則；
其中正確的序號是
題型二: 向量的加、減法
【例9】 化簡
【例10】 化簡下列各式：
⑴；⑵【例11】 若，，其中，是已知向量，求，.
【例12】 設是所在平面內的一點，，則（ ）
a． b．
c． d．
【例13】 設，，，分別是的三邊、、上的點，且則與( )
a.反向平行b.同向平行
c.互相垂直d.既不平行也不垂直
【例14】 如圖，，，分別是的邊，，的中點，則（ ）
a． b．
c． d．
【例15】 若則向量的關係是（ ）
a．平行 b．重合c．垂直d．不確定
【例16】 若非零向量，滿足，則（ ）
a． b． c． d．
題型三: 向量數乘運算及其幾何意義
【例17】 設，，為非零向量，其中任意兩個向量不共線，已知與共線，且與共線，則
【例18】 d、e、f分別是△abc的bc、ca、ab上的中點，且，，給出下列命題，其中正確命題的個數是（ ）
③ ④
a、1b、2c、3d、4
【例19】 已知：，則下列關係一定成立的是（ ）
a、a，b，c三點共線b、a，b，d三點共線
c、c，a，d三點共線d、b，c，d三點共線
【例20】 如圖，在中，、、分別是、、上的中線，它們交於點，則下列各等式中不正確的是（ ）
a． b． c． d．
【例21】 如圖，已知，用表示，則（ ）
a． b． c． d．
【例22】 在平行四邊形中，與交於點是線段的中點，的延長線與交於點．若，，則( )
a． b． c． d．
【例23】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若， 則
【例24】 若等邊的邊長為，平面內一點滿足，則用，向量表示）
【例25】 在中，，．若點滿足，則( )
a． b． c． d．
題型三： 平面向量基本定理
【例26】 若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( )
a．與— b．3與2 c．＋與— d．與2
【例27】 在中，，．若點滿足，則（ ）
a． b． c． d．
【例28】 已知的兩條對角線交於點，設對角線=， =，用，表示，．
【例29】 在△abc中,已知 am︰ab =1︰3, an︰ac =1︰4，bn與cm交於點p,且,試用表示.
【例30】 如圖，平行四邊形中，分別是的中點，為的交點,若=， =，試以，為基底表示、、．
【例31】 如圖，在△中，已知，，，於，為的中點，若，則
【例32】 已知向量，不共線，，，如果，那麼（ ）
a．且與同向b．且與反向
c．且與同向d．且與反向
【例33】 在平行四邊形中，和分別是邊和的中點．若，其中，，則
【例34】 如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，於不同的兩點，若，，則的值為
【例35】 在△oab中，，ad與bc交於點m，設=， =，用,表示.
【例36】 如圖，已知的面積為，、分別為邊、上的點， 且，、交於點，求的面積．
題型四：平面向量的座標表示與運算
【例37】 設向量，且點的座標為，則點的座標為 ．
【例38】 設平面向量，則（ ）
abcd．
【例39】 已知，若，則
【例40】 若m(3, -2) n(-5, -1) 且, 求p點的座標；
【例41】 已知兩個向量，若，則的值等於（ ）
abcd．
【例42】 若向量與共線且方向相同，求x
【例43】 已知向量，如果那麼（ ）
a．且與同向b．且與反向
c．且與同向d．且與反向
【例44】 已知向量，若與平行，則實數的值是（ ）
a．-2b．0c．1d．2
【例45】 若向量=（1，1），=（-1,1），=（4，2），則= ( )
a.3+ b. 3- c.- +3d. +3
【例46】 已知向量，，，若∥，則
【例47】 已知，，當與平行，k為何值（ ）
a bc － d
【例48】 已知,當實數取何值時, ＋2與2—4平行？
【例49】 若平面向量,滿足，平行於軸，，則
【例50】 已知向量，若不超過5，則的取值範圍是
【例51】 已知向量，，則的最大值為
【例52】 已知向量=， =，若//，則銳角等於（ ）
ab． c． d．
題型五：數量積運算
【例53】 已知向量，，若，則（ ）
a． b． c． d．
【例54】 已知，，與的夾角為，求；
【例55】 已知向量與的夾角為，且，那麼的值為 ．
【例56】 若、、為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（ ）
ab．cd．【例57】 設是單位向量，且，則的最小值為（ ）
ab． c． d．
【例58】 如圖，在中，，是邊上一點，，則等於（ ）
a． b． c． d．
【例59】 在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（ ）
ab．cd．【例60】 若向量,滿足，與的夾角為，則（ ）
abcd．2
【例61】 直角座標平面上三點、、，若為線段的三等分點，則 ．
題型六：向量求模
【例62】 已知，，且．
⑴ 求的值；⑵求的值．
【例63】 在中，已知，，，求．
【例64】 已知，，與的夾角為120°，求：
⑴；⑵⑶；⑷
【例65】 已知向量，若與垂直，則 ．
【例66】 已知向量，則（ ）
abc． d．
【例67】 已知與的夾角為，那麼等於（ ）
a．2 bc．6d．12
【例68】 設是邊長為1的正三角形, 則
【例69】 已知，，和的夾角為，則為
a． b． c． d．
【例70】 已知平面向量，．若，則
【例71】 已知，是非零向量，且，夾角為，則向量的模為
【例72】 已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是( )
abcd.
題型七：向量求夾角與向量垂直
【例73】 ，，，且，則向量與的夾角為（ ）
a． b． c． d．
【例74】 設非零向量=， =，且，的夾角為鈍角，求的取值範圍
【例75】 已知，,如果與的夾角為銳角,則的取值範圍
【例76】 給出命題：
⑴在平行四邊形中，.
⑵在中，若，則是鈍角三角形.
⑶，則以上命題中，正確的命題序號是
【例77】 已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角．
【例78】 在中，，，求值．
【例79】 （2006重慶）與向量，的夾角相等，且模長為的向量是（ ）
ab．或
cd．或
【例80】 已知，則與垂直的單位向量的座標為 ；
【例81】 已知，，且與垂直，求與的夾角
【例82】 已知為的三個內角的對邊，向量．若，且，則角的大小分別為（ ）
a． bcd,
【例83】 已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，則實數的值為
abcd．
【例84】 在△abc中，a，b，c分別為三個內角a,b,c所對的邊，設向量，，若,則角a的大小為（ ）
abcd.
【例85】 已知＝(－1, 3)，＝(2, －1)，若(k＋)⊥(－2)，則k
【例86】 內有一點,滿足,且.則一定是（ ）
平面向量題型總結
平面向量 1.已知向量，如果那麼 a 且與同向b 且與反向 c 且與同向d 且與反向 2.設p是 abc所在平面內的一點，則 a.b.c.d.3.已知向量a 2,1 a b 10，a b 則 b abc.5d.25 4.設 是單位向量，且 0，則的最小值為 abc.d.5.平面向量a與b的夾角為，則...
平面向量部分常見的考試題型總結
型別 一 向量的夾角問題 1.平面向量，滿足且滿足，則的夾角為 2.已知非零向量滿足，則的夾角為 3.已知平面向量滿足且，則的夾角為 4.設非零向量 滿足，則 5.已知 6.若非零向量滿足則的夾角為 型別 二 向量共線問題 1.已知平面向量，平面向量若 則實數 2.設向量若向量與向量共線，則 3.已...
專題 平面向量常見題型與解題指導
在解決關於向量問題時，一是要善於運用向量的平移 伸縮 合成 分解等變換，正確地進行向量的各種運算，進一步加深對 向量 這一二維性的量的本質的認識，並體會用向量處理問題的優越性。二是向量的座標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想，所以要通過向量法和座標法的運用，進一步體會數形結合思想在解決數學問題...