在解決關於向量問題時,一是要善於運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換,正確地進行向量的各種運算,進一步加深對「向量」這一二維性的量的本質的認識,並體會用向量處理問題的優越性。二是向量的座標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想,所以要通過向量法和座標法的運用,進一步體會數形結合思想在解決數學問題上的作用。
在解決解斜三角形問題時,一方面要體會向量方法在解三角形方面的應用,另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段,通過學習提高解決實際問題的能力。
二、常見題型分類
題型一:向量的有關概念與運算
此類題經常出現在選擇題與填空題中,在複習中要充分理解平面向量的相關概念,熟練掌握向量的座標運算、數量積運算,掌握兩向量共線、垂直的充要條件.
例1:已知a是以點a(3,-1)為起點,且與向量b = (-3,4)平行的單位向量,則向量a的終點座標是 .
思路分析:與a平行的單位向量e=±
方法一:設向量a的終點座標是(x,y),則a =(x-3,y+1),則題意可知
,故填 (,-)或(,-)
方法二與向量b = (-3,4)平行的單位向量是±(-3,4),故可得a=±(-,),從而向量a的終點座標是(x,y)= a-(3,-1),便可得結果.
點評:向量的概念較多,且容易混淆,在學習中要分清、理解各概念的實質,注意區分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.
例2:已知| a |=1,| b |=1,a與b的夾角為60°, x =2a-b,y=3b-a,則x與y的夾角的余弦是多少?
思路分析:要計算x與y的夾角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.計算時要注意計算的準確性.
解:由已知|a|=|b|=1,a與b的夾角α為60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要計算x與y的夾角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4-4×+1=3,
|y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6b·a+a2=9-6×+1=7.
x·y=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-2a2-3b2+a·b
=7a·b-2a2-3b2 =7×-2-3=-,
又∵x·y=|x||y|cosθ,即-=×cosθ, ∴cosθ=-
點評:①本題利用模的性質|a|2=a2,②在計算x,y的模時,還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得:如圖所示,設=b, =a, =2a,∠bac=60°.
由向量減法的幾何意義,得=-=2a-b.由餘弦定理易得||=,即|x|=,同理可得|y|=.
題型二:向量共線與垂直條件的考查
例1.平面直角座標系中,o為座標原點,已知兩點a(3, 1),b(-1, 3), 若點c滿足,其中,∈r且+=1,求點c的軌跡方程。.
解:(法一)設c(x,y),則=(x,y),由=(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)
∴, (可從中解出α、β)又∵α+β=1 消去α、β得x+2y-5=0
(法二) 利用向量的幾何運算,考慮定比分點公式的向量形式,結合條件知:a,b,c三點共線,故點c的軌跡方程即為直線ab的方程x+2y-5=0,
例2.已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1) 若存在實數k和t,便得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,試求函式的關係式k=f(t);(2) 根據(1)的結論,確定k=f(t)的單調區間.
思路分析:①欲求函式關係式k=f(t),只需找到k與t之間的等量關係,k與t之間的等量關係怎麼得到?②求函式單調區間有哪些方法?
(導數法、定義法)導數法是求單調區間的簡捷有效的方法?
解:(1)法一:由題意知x=(,),
y=(t-k, t+k),又x⊥y
故x · y=×(t-k)+×(t+k)=0.
整理得:t3-3t-4k=0,即k=t3-t.
法二:∵a=(,-1),b2,=1且a⊥b
∵x⊥y,∴x · y=0,即-k2+t(t2-3) 2=0,∴t3-3t-4k=0,即k=t3-t
(2) 由(1)知:k=f(t) =t3-t ∴kˊ=fˊ(t) =t3-,
令kˊ<0得-1<t<1;令kˊ>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的單調遞減區間是(-1, 1 ),單調遞增區間是(-∞,-1)和(1,+∞).
點評: 第(1)問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法:一是先利用向量的座標運算分別求得兩個向量的座標,再利用向量垂直的充要條件;二是直接利用向量垂直的充要條件,其過程要用到向量的數量積公式及求模公式,達到同樣的求解目的(但運算過程大大簡化,值得注意).
第(2)問中求函式的極值運用的是求導的方法,這是新舊知識交匯點處的綜合運用.
例3: 已知平面向量=(,-1),=(,),若存在不為零的實數k和角α,使向量=+(sinα-3),=-k+(sinα),且⊥,試求實數k 的取值範圍.
解:由條件可得:k=( sinα-)2-,而-1≤sinα≤1,
∴當sinα=-1時,k取最大值1; sinα=1時,k取最小值-.
又∵k≠0 ∴k的取值範圍為.
點撥與提示:將例題中的t略加改動,舊題新掘,出現了意想不到的效果,很好地考查了向量與三角函式、不等式綜合運用能力.
例4:已知向量,若正數k和t使得向量
垂直,求k的最小值.
解:代入上式 -3k+3
當且僅當t=,即t=1時,取「=」號,即k的最小值是2.
題型三:向量的座標運算與三角函式的考查
向量與三角函式結合,題目新穎而又精巧,既符合在知識的「交匯處」構題,又加強了對雙基的考查.
例7.設函式f (x)=a · b,其中向量a=(2cosx , 1), b=(cosx, sin2x), x∈r.(1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;(2)若函式y=2sin2x的圖象按向量c=(m , n) (﹤)平移後得到函式y=f(x)的圖象,求實數m、n的值.
思路分析:本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函式的恒等變換等基本技能,
解: (1)依題設,f(x)=(2cosx,1)·(cosx, sin2x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)
由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-.
∵-≤x≤, ∴-≤2x+≤, ∴2x+=-, 即x=-.
(2)函式y=2sin2x的圖象按向量c=(m , n)平移後得到函式y=2sin2(x-m)+n的圖象,即函式y=f(x)的圖象.
由(1)得f (xm=-,n=1.
點評: ①把函式的影象按向量平移,可以看成是c上任一點按向量平移,由這些點平移後的對應點所組成的圖象是cˊ,明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關係,也就找到了此問題的解題途徑.②一般地,函式y=f (x)的圖象按向量a=(h , k)平移後的函式解析式為y-k=f(x-h)、
例8:已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),(1)求證: a+b與a-b互相垂直; (2)若ka+b與a-kb的模大小相等(k∈r且k≠0),求β-α
解:(1)證法一:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ), a-b=(cosα-cosβ,sinα- sinβ)
∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ)·(cosα-cosβ,sinα- sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0
∴(a+b)⊥(a-b)
證法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴|a|=1,|b|=1
∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0a+b)⊥(a-b)
證法三:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1,
記=a,=b,則||=||=1,
又α≠β,∴o、a、b三點不共線.
由向量加、減法的幾何意義,可知以oa、ob為鄰邊的平行四邊形oacb是菱形,其中=a+b,=a-b,由菱形對角線互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)
(2)解:由已知得|ka+b|與|a-kb|,
又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α),
|ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α),
∴2kcos(β-α)= -2kcos(β-α)
又∵k≠0 ∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π ∴0<β-α<
注:本題是以平面向量的知識為平台,考查了三角函式的有關運算,同時也體現了向量垂直問題的多種證明方法,常用的方法有三種,一是根據數量積的定義證明,二是利用數量積的座標運算來證明,三是利用向量運算的幾何意義來證明.
題型四:向量運算的幾何意義與解析幾何
由於向量既能體現「形」的直觀位置特徵,又具有「數」的良好運算性質,是數形結合與轉換的橋梁和紐帶,文科應重視由向量運算的幾何意義求圓的方程和橢圓方程。
例9:設g、h分別為非等邊三角形abc的重心與外心,a(0,2),b(0,-2)且(λ∈r).(ⅰ)求點c(x,y)的軌跡e的方程;(ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線e交於點m、n兩點,設,是否存在這樣的直線l,使四邊形ompn是矩形?
若存在,求出直線的方程;若不存在,試說明理由.
思路分析:(1)通過向量的共線關係得到座標的等量關係.(2)根據矩形應該具備的充要條件,得到向量垂直關係,結合韋達定理,求得k的值.
解:(1)由已知得, 又,∴
∵ch=ha ∴即
(2)設l方程為y=k(x-2),代入曲線e得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0
設n (x1,y1),m (x2,y2),則x1 +x2=,x1 x2=
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