第五講向量與三角函式創新題型的解題技巧
1.三角函式的性質、影象及其變換，主要是的性質、影象及變換.考查三角函式的概念、奇偶性、週期性、單調性、有界性、影象的平移和對稱等.
以選擇題或填空題或解答題形式出現，屬中低檔題，這些試題對三角函式單一的性質考查較少，一道題所涉及的三角函式性質在兩個或兩個以上，考查的知識點**於教材.
2.三角變換.主要考查公式的靈活運用、變換能力，一般要運用和角、差角與二倍角公式，尤其是對公式的應用與三角函式性質的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現，屬中檔題.
3.三角函式的應用.以平面向量、解析幾何等為載體，或者用解三角形來考查學生對三角恒等變形及三角函式性質的應用的綜合能力.
特別要注意三角函式在實際問題中的應用和跨知識點的應用，注意三角函式在解答有關函式、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時的工具性作用.這類題一般以解答題的形式出現，屬中檔題.
4.在一套高考試題中，三角函式一般分別有1個選擇題、1個填空題和1個解答題，或選擇題與填空題1個，解答題1個，分值在17分—22分之間．
5.在高考試題中，三角題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現較難題，更不會出現難題，因而三角題是高考中的得分點．
【考點透視】
1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算．
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解餘切、正割、餘割的定義，掌握同解三角函式的基本關係式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解週期函式與最小正週期的意義．
3．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
4．能正確運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等式證明．
5．了解正弦函式、余弦函式、正切函式的圖象和性質，會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+ψ)的簡圖，理解a、ω、ψ的物理意義．
6．會由已知三角函式值求角，並會用符號arcsin x, arcos x,arctan x表示．
7．掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解三角形的計算問題．
8．掌握向量與三角函式綜合題的解法．
常用解題思想方法
1．三角函式恒等變形的基本策略。
（1）常值代換：特別是用「1」的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角等。
（3）降次與公升次。即倍角公式降次與半形公式公升次。
（4）化弦（切）法。將三角函式利用同角三角函式基本關係化成弦（切）。
（5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這裡輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。
（6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函式化成tan的有理式。
2．證明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。
（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。
3．證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函式的單調性，利用正、余弦函式的有界性，利用單位圓三角函式線及判別法等。
4．解答三角高考題的策略。
（1）發現差異：觀察角、函式運算間的差異，即進行所謂的「差異分析」。
（2）尋找聯絡：運用相關公式，找出差異之間的內在聯絡。
（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。
【例題解析】
考點1．三角函式的求值與化簡
此類題目主要有以下幾種題型：
⑴考查運用誘導公式和逆用兩角和的正弦、余弦公式化簡三角函式式能力，以及求三角函式的值的基本方法.
⑵考查運用誘導公式、倍角公式，兩角和的正弦公式，以及利用三角函式的有界性來求的值的問題.
⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函式值的基本轉化方法，考查三角恒等變形及求角的基本知識.
例1. （2023年重慶卷文）已知函式f(x)= .
（ⅰ）求f(x)的定義域； （ⅱ）若角a在第一象限且
命題目的：本小題主要考查三角函式的定義域和兩角差的公式，同角三角函式的關係等基本知識，考查運算和推理能力，以及求角的基本知識..
解：（ⅰ）由
故f(x)的定義域為
（ⅱ）由已知條件得
從而 ＝
＝ ＝
例2.（2023年安徽卷）
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求.
命題目的：本小題主要考查同角三角函式的關係式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.
解答過程：（ⅰ），
，解得或.
.（），＝＝.
例3（2023年四川卷理）
已知<<<,
(ⅰ)求的值.（ⅱ）求.
命題目的：本題考三角函式的基本公式以及三角函式式的恒等變形等基礎知識和基本運算技能.
解：（ⅰ）由，得
∴，於是
（ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：所以
例4.（2023年湖南卷）已知求θ的值.
命題目的：本小題主要考查誘導公式、同角三角函式的關係式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力，以及求角的基本知識..
解：由已知條件得.
即.解得.
由0＜θ＜π知，從而.
考點2．解三角形
此類題目以考查正弦定理，餘弦定理，兩角差的正弦公式，同角三角函式間的關係式和誘導公式等基本知識，以及考查基本的運算為主要特徵.解此類題目要注意綜合應用上述知識.
典型例題
例5．（2023年浙江卷理）已知的周長為，且．
（）求邊的長；（）若的面積為，求角的度數．
命題目的：本小題考查正弦定理、餘弦定理和三角函式等基礎知識，考查基本運算能力及分析解決問題的能力.
解：（）由題意及正弦定理，得，
，兩式相減，得．
（）由的面積，得，
由餘弦定理，得
，所以．
例6.（2023年天津卷））
如圖，在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
命題目的：本小題考查同角三角函式關係、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、餘弦定理等基礎知識，考查基本運算能力及分析解決問題的能力.
解答過程：（ⅰ） 由餘弦定理，得
那麼，（ⅱ）由，且得由正弦定理，得
解得.所以，.由倍角公式
，且，故
.例7．（2023年福建卷文17）．在中，，．
（ⅰ）求角的大小；（ⅱ）若邊的長為，求邊的長．
命題目的：本題主要考查三角函式的誘導公式、正弦定理及兩角和公式等基礎知識，考查運算能力.
解：（ⅰ），．
又，．（ⅱ）由且，
得．，．
考點3．求三角函式的定義域、值域或最值
此類題目主要有以下幾種題型：
⑴考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函式式，以及利用三角函式的有界性來求值域的能力.
⑵考查利用三角函式的性質, 誘導公式、同角三角函式的關係式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.
⑶考查利用三角函式的有界性來求最大值與最小值的能力.
典型例題
例8.（2023年遼寧卷）已知函式,則的值域是（ ）
a. b. cd.
命題目的：本小題考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函式式，以及利用三角函式的有界性來求值域的能力.
例9．（2023年陝西卷文17）
設函式.其中向量.
（ⅰ）求實數的值; （ⅱ）求函式的最小值.
命題目的：本小題考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函式式，以及利用三角函式的有界性來求最值的能力.
解：（ⅰ），，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，當時，的最小值為．
例10.（2023年北京卷）已知函式，
（ⅰ）求的定義域；
（ⅱ）設是第四象限的角，且，求的值.
命題目的：本題考查利用三角函式的性質, 誘導公式、同角三角函式的關係式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.
解答過程：（ⅰ） 由得.
故的定義域為，
（ⅱ） 因為且第四象限的角，所以故
例11設的週期，最大值，
（1）求、、的值
（2）.
命題目的：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函式的週期性.
解答過程：(1)，，， 又的最大值
且 ，
由 ①、解出 a=2 , b=3.
(2)， ，
，， 或 ，
即 (共線，故捨去) ， 或 ，
.例12.（2023年重慶卷）設函式（其中），且的圖象在軸右側的第乙個最高點的橫座標為.
（i）求的值；
（ii）如果在區間上的最小值為，求的值.
命題目的：本題考查利用三角函式的性質逆用兩角和的正弦公式等基本知識，考查運算和推理能力.
解答過程：（ⅰ）,
依題意得 ， 解得 .
（ⅱ）由（ⅰ）知，,
又當時，，故，
從而在上取得最小值.
因此，由題設知.故.
例13.（2023年廣東卷）已知函式
（ⅰ）求的最小正週期；
（ⅱ）求的最大值和最小值；
（ⅲ）若，求的值.
命題目的：本題考查利用三角函式的性質, 誘導公式、同角三角函式的關係式、兩角和的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.
解答過程：
（ⅰ）的最小正週期為;
（ⅱ）的最大值為和最小值；
（ⅲ）因為，即
即.考點4．三角函式的圖象和性質
考查三角函式的圖象和性質的題目，是高考的重點題型.此類題目要求考生在熟練掌握三角函式圖象的基礎上要對三角函式的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.
典型例題
例14.（2023年遼寧卷）已知函式.求：
（ⅰ）求函式的最大值及取得最大值的自變數的集合；
（ⅱ）函式的單調增區間.
命題目的：本題考查三角公式、三角函式的性質及已知三角函式值求角等基礎知識，考查綜合運用三角函式有關知識的能力.
解答過程：（i）解法一：
當，即時，取得最大值.
因此，取得最大值的自變數x的集合是.
解法二：
當，即時，取得最大值.
因此，取得最大值的自變數x的集合是 .
（ⅱ）解：
由題意得，即.
因此，的單調增區間是.
例15．（2023年湖南卷理16）．（本小題滿分12分）
已知函式，．
（i）設是函式圖象的一條對稱軸，求的值．
（ii）求函式的單調遞增區間．
向量與三角函式
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