第12講三角函式
高考試題中的三角函式題相對比較傳統，難度較低，位置靠前，重點突出。因此，在複習過程中既要注重三角知識的基礎性，突出三角函式的圖象、週期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質。以及化簡、求值和最值等重點內容的複習，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數、幾何、向量的綜合聯絡，以及三角知識的應用意識。
一、知識整合
1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規使用方法等；熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等；並能應用這些方法進行三角函式式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，並能結合三角形的公式解決一些實際問題．
2．熟練掌握正弦函式、余弦函式、正切函式、餘切函式的性質，並能用它研究復合函式的性質；熟練掌握正弦函式、余弦函式、正切函式、餘切函式圖象的形狀、特點，並會用五點畫出函式的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，並會用這兩種變換研究函式圖象的變化．
二、 高考考點分析
2023年各地高考中本部分所佔分值在17～22分，主要以選擇題和解答題的形式出現。主要考察內容按綜合難度分，我認為有以下幾個層次：
第一層次：通過誘導公式和倍角公式的簡單運用，解決有關三角函式基本性質的問題。如判斷符號、求值、求週期、判斷奇偶性等。
第二層次：三角函式公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三層次：充分利用三角函式作為一種特殊函式的圖象及週期性、奇偶性、單調性、有界性等特殊性質，解決較複雜的函式問題。如分段函式值，求復合函式值域等。
三、方法技巧
1.三角函式恒等變形的基本策略。
（1）常值代換：特別是用「1」的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角等。
（3）降次與公升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這裡輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。
2.證明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。
（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。
3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函式的單調性，利用正、余弦函式的有界性，利用單位圓三角函式線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
（1）發現差異：觀察角、函式運算間的差異，即進行所謂的「差異分析」。
（2）尋找聯絡：運用相關公式，找出差異之間的內在聯絡。
（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。
四、例題分析
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。
例2．求函式的值域。
解：設，則原函式可化為
，因為，所以
當時，，當時，，
所以，函式的值域為。
例3．已知函式。
（1）求的最小正週期、的最大值及此時x的集合；
（2）證明：函式的影象關於直線對稱。
解：(1)所以的最小正週期，因為，
所以，當，即時，最大值為；
(2)證明：欲證明函式的影象關於直線對稱，只要證明對任意，有成立，
因為，，
所以成立，從而函式的影象關於直線對稱。
例4． 已知函式y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈r）,
（1）當函式y取得最大值時，求自變數x的集合；
（2）該函式的影象可由y=sinx(x∈r)的影象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+= (cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈z），即 x=+kπ,（k∈z）。
所以當函式y取最大值時，自變數x的集合為
（2）將函式y=sinx依次進行如下變換：
（i）把函式y=sinx的影象向左平移，得到函式y=sin(x+)的影象；
（ii）把得到的影象上各點橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），得到函式y=sin(2x+)的影象；
（iii）把得到的影象上各點縱座標縮短到原來的倍（橫座標不變），得到函式y=sin(2x+)的影象；
（iv）把得到的影象向上平移個單位長度，得到函式y=sin(2x+)+的影象。
綜上得到y=cos2x+sinxcosx+1的影象。
說明：本題是2023年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函式的影象和性質。這類題一般有兩種解法：
一是化成關於sinx,cosx的齊次式，降冪後最終化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某乙個三角函式的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx≠0時，y=+1=+1
化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈r，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此時對應自變數x的值集為
例5．已知函式
（ⅰ）將f(x)寫成的形式，並求其圖象對稱中心的橫座標；
（ⅱ）如果△abc的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的範圍及此時函式f(x)的值域.
解： （ⅰ）由=0即
即對稱中心的橫座標為
（ⅱ）由已知b2=ac
即的值域為.
綜上所述值域為.
說明：本題綜合運用了三角函式、餘弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數形結合的思想來解決函式值域的問題，有利於培養學生的運算能力，對知識進行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分別是角a、b、c的對邊，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面積。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因為，，所以，因為，所以，又，所以。
(2)在中，由餘弦定理可得，又，
所以有，所以的面積為
。例7．已知向量
，且，(1)求函式的表示式；
(2)若，求的最大值與最小值。
解：(1)，，，又，
所以，所以，即；
(2)由(1)可得，令導數，解得，列表如下：
而所以。
例8．已知向量，
(1) 求的值；
(2) (2)若的值。
解：(1)因為
所以又因為，所以，
即；(2)，
又因為，所以，
，所以，所以
例9．平面直角座標系有點
（1） 求向量和的夾角的余弦用表示的函式；
（2） 求的最值.
解：（1），
即（2）， 又 ，
說明：三角函式與向量之間的聯絡很緊密，解題時要時刻注意。
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