三角函式複習

三角函式模組專題複習

——任意角的三角函式及誘導公式

一．課標要求：

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；

2．三角函式

（1）借助單位圓理解任意角三角函式（正弦、余弦、正切）的定義；

（2）借助單位圓中的三角函式線推導出誘導公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

二．要點精講

1．任意角的概念

旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。

規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了乙個零角。

2．終邊相同的角、區間角與象限角

3．弧度制

長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分.

角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。

角度制與弧度制的換算主要抓住。

弧度與角度互換公式：1rad＝° 1°＝（rad）。

弧長公式：（是圓心角的弧度數），

扇形面積公式：。

4．三角函式定義

利用單位圓定義任意角的三角函式，設是乙個任意角,它的終邊與單位圓交於點,那麼:

(1)叫做的正弦,記做,即；

（2）叫做的余弦,記做,即；

（3）叫做的正切,記做,即。

5．三角函式線

6．同角三角函式關係式

（1）平方關係：

（2）倒數關係：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,

（3）商數關係：

幾個常用關係式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)

7．誘導公式

可用十個字概括為「奇變偶不變，符號看象限」。

誘導公式一：，，其中

誘導公式二：；

誘導公式三：；

誘導公式四：；

誘導公式五：；

（1）要化的角的形式為（為常整數）；

（2）記憶方法：「函式名不變，符號看象限」；

（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈z)；

（4）；。

四．典例解析

題型1：象限角

例1．已知角；（1）在區間內找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那麼兩集合的關係是什麼？

解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：，

則令，得

解得從而或

代回或（2）因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在座標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：。

點評：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然後列出乙個關於的不等式，找出相應的整數，代回求出所求解；（2）可對整數的奇、偶數情況展開討論。

例2．若sinθcosθ＞0，則θ在（）

a．第一、二象限b．第

一、三象限

c．第一、四象限d．第

二、四象限

例4．已知「是第三象限角，則是第幾象限角?

解法一：因為是第三象限角，所以，

∴，∴當k=3m（m∈z）時，為第一象限角；

當k= 3m＋1（m∈z）時，為第三象限角，

當k= 3m＋2（m∈z）時，為第四象限角，

故為第一、三、四象限角。

點評：已知角的範圍或所在的象限，求所在的象限是常考題之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區域標上i、ⅱ、ⅲ、ⅳ，並迴圈一周，則原來是第幾象限的符號所表示的區域即為(n∈n*)的終邊所在的區域。

題型2：三角函式定義

例5．已知角的終邊過點，求的四個三角函式值。

例6．已知角的終邊上一點，且，求的值。

題型3：誘導公式

例7． ( )

【解】：∵

故選d；

【點評】：此題重點考察各三角函式的關係；

【突破】：熟悉三角公式，化切為弦；以及注意

例8．化簡：

(1)；

（2）。

解析：①當時，原式。

②當時，原式。

點評：關鍵抓住題中的整數是表示的整數倍與公式一中的整數有區別，所以必須把分成奇數和偶數兩種型別，分別加以討論。

題型4：同角三角函式的基本關係式

例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。

解析：∵ ，

===。

又∵，∴，

即得或所以，角的集合為：或。

例10．（1）證明：；

解析：分析：證明此恒等式可採取常用方法，也可以運用分析法，即要證，只要證a·d=b·c,從而將分式化為整式

證法一：右邊===

證法二：要證等式，即為

只要證 2（）（）=

即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。

點評：在進行三角函式的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細觀察題目的特徵，靈活、恰當地選擇公式，利用倒數關係比常規的「化切為弦」要簡潔得多。（2）同角三角函式的基本關係式有三種，即平方關係、商的關係、倒數關係。

課堂練習：

1、在中，若，則　　　．

2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為 .

3. 銳角△中，≥，且，則的最大值為

4. 設則的值等於__ .

5. 在△abc中，bc=1，，當△abc的面積等於時

6. 若△的三個內角的正弦值分別等於△的三個內角的余弦值，則△的三個內角從大到小依次可以為寫出滿足題設的一組解）．

，另兩角不惟一，但其和為

7. 在△abc中，內角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，給出下列結論：

①若a＞b＞c，則；

②若；③必存在a、b、c，使成立；

④若，則△abc必有兩解.

其中，真命題的編號為寫出所有真命題的編號）①④

8、求證：。

五．思維總結

1．幾種終邊在特殊位置時對應角的集合為：

2．α、、2α之間的關係。

若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。

若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。

若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。

若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。

3．學習本節內容時要注意如下幾點：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關問題時要注意有關範圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善於瞄準解題目標進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發現差異，尋找聯絡，合理轉化。

三角函式的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離,那麼, ,。

三角函式的圖象與性質

一．課標要求：

1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的影象，了解三角函式的週期性；

2．借助影象理解正弦函式、余弦函式在[0，2π]，正切函式在（－π/2，π/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、影象與x軸交點等）；

3．結合具體例項，了解y=asin（wx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=asin（wx+φ）的影象，觀察引數a，w，φ對函式影象變化的影響。

二．要點精講

1．正弦函式、余弦函式、正切函式的影象

2．三角函式的單調區間：

的遞增區間是，

遞減區間是；

的遞增區間是，

遞減區間是，

的遞增區間是，

3．函式

最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。

4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。

途徑一：先平移變換再週期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。

途徑二：先週期變換(伸縮變換)再平移變換。

先將y＝sinx的圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。

5．由y＝asin(ωx＋)的圖象求其函式式：

9．五點法作y=asin（ωx+）的簡圖：

五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。

四．典例解析

題型1：三角函式的圖象

例1．函式y＝－xcosx的部分圖象是（）

解析：因為函式y＝－xcosx是奇函式，它的圖象關於原點對稱，所以排除a、c，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0。答案為d。

例2．函式y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（）

解析：由奇偶性定義可知函式y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函式。選項a、d為奇函式，b為偶函式，c為非奇非偶函式。

點評：利用函式的性質來描繪函式的圖象，這樣既有利於掌握函式的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法。

題型2：三角函式圖象的變換

例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y=sinx的圖象。

三角函式複習

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三角函式複習總結

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