高中數學複習講義三角函式
三角函式的影象和性質（一）
【考點導讀】
1.能畫出正弦函式，余弦函式，正切函式的影象，借助影象理解正弦函式，余弦函式在，正切函式在上的性質；
2.了解函式的實際意義，能畫出的影象；
3.了解函式的週期性，體會三角函式是描述週期變化現象的重要函式模型．
【基礎練習】
1. 已知簡諧運動的圖象經過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正週期_____6____；初相
2. 三角方程2sin(－x)=1的解集為
3. 函式的部分圖象如圖所示，則函式表示式為
4. 要得到函式的圖象，只需將函式的圖象向右平移個單位．
【範例解析】
例1.已知函式．
（ⅰ）用五點法畫出函式在區間上的圖象，長度為乙個週期；
（ⅱ）說明的影象可由的影象經過怎樣變換而得到．
分析：化為形式．
解：（i）由
．列表，取點，描圖：
故函式在區間上的圖象是：
（ⅱ）解法一：把影象上所有點向右平移個單位，得到的影象，再把的影象上所有點的橫座標縮短為原來的（縱座標不變），得到的影象，然後把的影象上所有點縱座標伸長到原來的倍（橫座標不變），得到的影象，再將的影象上所有點向上平移1個單位，即得到的影象．
解法二：把影象上所有點的橫座標縮短為原來的（縱座標不變），得到的影象，再把影象上所有點向右平移個單位，得到的影象，然後把的影象上所有點縱座標伸長到原來的倍（橫座標不變），得到的影象，再將的影象上所有點向上平移1個單位，即得到的影象．
例2.已知正弦函式的影象如右圖所示．
（1）求此函式的解析式；
（2）求與影象關於直線對稱的曲線的解析式；
（3）作出函式的影象的簡圖．
分析：識別影象，抓住關鍵點．
解：（1）由圖知，，，，即．
將，代入，得，解得，即．
（2）設函式影象上任一點為，與它關於直線對稱的對稱點為，
得解得代入中，得．
（3），簡圖如圖所示．
點評：由影象求解析式，比較容易求解，困難的是待定係數求和，通常利用週期確定，代入最高點或最低點求．
【反饋演練】
1．為了得到函式的影象，只需把函式，的影象上所有的點
①向左平移個單位長度，再把所得各點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變）；
②向右平移個單位長度，再把所得各點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變）；
③向左平移個單位長度，再把所得各點的橫座標伸長到原來的3倍（縱座標不變）；
④向右平移個單位長度，再把所得各點的橫座標伸長到原來的3倍（縱座標不變）．
其中，正確的序號有
2．為了得到函式的圖象，可以將函式的圖象向右平移____個單位長度．
3．若函式，（其中，）的最小正週期是，且，則__2
4．在內，使成立的取值範圍為
5．下列函式：
其中函式圖象的一部分如右圖所示的序號有
6．如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函式
（1）求這段時間的最大溫差；
（2）寫出這段時間的函式解析式．
解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是℃
（2）圖中從6時到14時的圖象是函式的半個週期
∴，解得
由圖示，
這時，將代入上式，可取
綜上，所求的解析式為（）
7．如圖，函式的圖象與軸相交於點，且該函式的最小正週期為．
（1）求和的值；
（2）已知點，點是該函式圖象上一點，點是的中點，
當，時，求的值．
解：（1）將，代入函式得，
因為，所以．
又因為該函式的最小正週期為，所以，
因此．（2）因為點，是的中點，，
所以點的座標為．
又因為點在的圖象上，所以．
因為，所以，
從而得或．
即或．三角函式的影象和性質（二）
【考點導讀】
1.理解三角函式，，的性質，進一步學會研究形如函式的性質；
2.在解題中體現化歸的數學思想方法，利用三角恒等變形轉化為乙個角的三角函式來研究．
【基礎練習】
1.寫出下列函式的定義域：
（1）的定義域是
（2）的定義域是
2．函式f (x) = | sin x +cos x |的最小正週期是
3．函式的最小正週期是_______．
4. 函式y=sin(2x+)的圖象關於點對稱．
5. 已知函式在（－，）內是減函式，則的取值範圍是
【範例解析】
例1.求下列函式的定義域：
（1）；（2）．
解：（1）即，
故函式的定義域為且
（2）即
故函式的定義域為．
點評：由幾個函式的和構成的函式，其定義域是每乙個函式定義域的交集；第（2）問可用數軸取交集．
例2．求下列函式的單調減區間：
（1）； （2）；
解：（1）因為，故原函式的單調減區間為．
（2）由，得，
又，所以該函式遞減區間為，即．
點評：利用復合函式求單調區間應注意定義域的限制．
例3．求下列函式的最小正週期：
（1）；（2） ．
解：（1）由函式的最小正週期為，得的週期．
（2）點評：求三角函式的週期一般有兩種：（1）化為的形式特徵，利用公式求解；（2）利用函式影象特徵求解．
【反饋演練】
1．函式的最小正週期為
2．設函式，則在上的單調遞減區間為
3．函式的單調遞增區間是
4．設函式，則的最小正週期為
5．函式在上的單調遞增區間是
6．已知函式．
（ⅰ）求的定義域；
（ⅱ）若角在第一象限且，求．
解：（ⅰ） 由得，即．
故的定義域為．
（ⅱ）由已知條件得．從而．
7． 設函式影象的一條對稱軸是直線．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求函式的單調增區間；
（ⅲ）畫出函式在區間上的影象
解：（ⅰ）的影象的對稱軸，
（ⅱ）由（ⅰ）知
由題意得
所以函式
（ⅲ）由
故函式三角函式的值域與最值
【考點導讀】
1.掌握三角函式的值域與最值的求法，能運用三角函式最值解決實際問題；
2.求三角函式值域與最值的常用方法：（1）化為乙個角的同名三角函式形式，利用函式的有界性或單調性求解；（2）化為乙個角的同名三角函式形式的一元二次式，利用配方法或影象法求解；（3）借助直線的斜率的關係用數形結合求解；（4）換元法．
【基礎練習】
1.函式在區間上的最小值為 1 ．
2.函式的最大值等於 ．
3.函式且的值域是
4.當時，函式的最小值為 4 ．
【範例解析】
例1.（1）已知，求的最大值與最小值．
（2）求函式的最大值．
分析：可化為二次函式求最值問題．
解：（1）由已知得：，，則．
，當時，有最小值；當時，有最小值．
（2）設，則，則，當時，有最大值為．
點評：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉化為二次函式求最值問題；但要注意變數的取值範圍．
例2.求函式的最小值．
分析：利用函式的有界性求解．
解法一：原式可化為，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值為．
解法二：表示的是點與連線的斜率，其中點b在左半圓上，由影象知，當ab與半圓相切時，最小，此時，所以的最小值為．
點評：解法一利用三角函式的有界性求解；解法二從結構出發利用斜率公式，結合影象求解．
例3.已知函式，．
（i）求的最大值和最小值；
（ii）若不等式在上恆成立，求實數的取值範圍．
分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式．
解：（ⅰ）
． 又，，即，
．（ⅱ），，
且，，即的取值範圍是．
點評：第（ⅱ）問屬於恆成立問題，可以先去絕對值，利用引數分離轉化為求最值問題．本小題主要考查三角函式和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函式的圖象和性質解題的能力．
【反饋演練】
1．函式的最小值等於____－1_______．
2．當時，函式的最小值是______4 _______．
3．函式的最大值為_______，最小值為________.
4．函式的值域為
5．已知函式在區間上的最小值是，則的最小值等於
6．已知函式．
（ⅰ）求函式的最小正週期；
（ⅱ）求函式在區間上的最小值和最大值．
解：（ⅰ）．
因此，函式的最小正週期為．
（ⅱ）因為在區間上為增函式，在區間上為減函式，又，，，
故函式在區間上的最大值為，最小值為．
解三角形
【考點導讀】
1.掌握正弦定理，餘弦定理，並能運用正弦定理，餘弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途徑：根據所給條件靈活運用正弦定理或餘弦定理，然後通過化邊為角或化角為邊，實施邊和角互化．
【基礎練習】
1．在△abc中，已知bc＝12，a＝60°，b＝45°，則ac＝ .
2．在中，若，則的大小是
3．在中，若，，，則
【範例解析】
例1. 在△abc中，a，b，c分別為∠a，∠b，∠c的對邊，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用轉化為邊的關係．
解：（1）由．
（2）由得．由餘弦定理
得： ，解得：或，
若，則，得，即矛盾，故．
點評：在解三角形時，應注意多解的情況，往往要分類討論．
例2.在三角形abc中，已知，試判斷該三角形的形狀．
解法一：(邊化角)由已知得：，
化簡得，
由正弦定理得：，即，
又，，．
又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化邊)同解法一得：，
由正餘弦定理得：，
整理得：，即或，
即該三角形為等腰三角形或直角三角形．
點評：判斷三角形形狀主要利用正弦或餘弦定理進行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀．
例3.如圖，d是直角△abc斜邊bc上一點，ab=ad，記∠cad=，∠abc=.
（1）證明：；
（2）若ac=dc，求．
分析：識別圖中角之間的關係，從而建立等量關係.
三角函式複習教案講義
第一章 三角函式複習講義 1.1.1 任意角 要求 理解任意大小的角正角 負角和零角，掌握終邊相同的角 象限角 區間角 終邊在座標軸上的角.重點 理解概念，掌握終邊相同角的表示法.教學難點 理解角的任意大小.一 引入 1.提問 初中所學的角是如何定義？角的範圍？角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個...
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第12講三角函式 高考試題中的三角函式題相對比較傳統，難度較低，位置靠前，重點突出。因此，在複習過程中既要注重三角知識的基礎性，突出三角函式的圖象 週期性 單調性 奇偶性 對稱性等性質。以及化簡 求值和最值等重點內容的複習，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數 幾何 向量的綜合聯絡，以及三角知識...
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