一、角的推廣及象限角
1、角的概念，正角、零角及負角
2、象限角
(1) 各象限角的表示：
(2) 軸線角的表示：
3、終邊相同的角
(1)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成乙個集合
(2)終邊相同的角的同一三角函式的值相等，即
sin(α＋k·2其中k∈z)；
cos(α＋k·2其中k∈z)；
tan(α＋k·2其中k∈z)．
例2 已知α是第一象限的角，求2α、、所在的象限。(p8)(直接法、八卦圖法)
二、弧度制
1、弧度制與角度制的互化 (p12例7)
1=rad=0.01745rad1rad=()=57.3°
2、弧長及扇形的面積公式
l＝|α|·r，s＝lr＝|α|r2，其中l為扇形弧長，α為圓心角，r為扇形半徑．
例1 已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數是( )
a．1或4 b．1c．4d．8
解：設扇形的半徑和弧長分別為r，l，則易得，解得或，故扇形的圓心角的弧度數是1或4.
[例2] 已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是r.
(1)若α＝60°，r＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積．
(2)若扇形的周長是一定值c(c>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積
解 (1)設弧長為l，弓形面積為s弓，
∵α＝60°＝，r＝10，∴l＝π(cm)，
s弓＝s扇－s△＝·π·10－·102·sin＝50 (cm2)．
(2)∵扇形周長c＝2r＋l＝2r＋αr，
∴r＝，
∴s扇＝α·r2＝α2＝α·＝·≤.
∴當α＝，即α＝2(α＝－2捨去)時，扇形面積有最大值.
即時訓練： 已知扇形oab的圓心角為4弧度，其面積為2平方厘公尺，求扇形周長和弦ab的長
解：設的長為l，oa＝r，
∵s扇形＝lr，∴ lr＝2①
又由已知＝4②
由①②得r＝1，l＝4，
∴扇形的周長為l＋2r＝4＋2×1＝6(cm)．
如右圖，作oh⊥ab於h，
則ab＝2ah＝2rsin
＝2rsin(π－2)＝2sin2(cm)．
三、三角函式的定義及應用
1、定義
已知p(x，y)是角α終邊上任一點，|op|＝r，則
各象限角的三角函式值的符號可用口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦來判斷．
[例1] 已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值
解 ∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，
∴在角α的終邊上任取一點p(4t，－3t)(t≠0)，
則x＝4t，y＝－3t.
r＝＝＝5|t|，
當t>0時，r＝5t，sinα＝＝＝－，
cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－；
當t<0時，r＝－5t，sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.
例2 （2013山東模擬）若角的終邊過p（-4t，3t）(t)，則2sin+cos的值是p15例2）
即時訓練： 已知角α的終邊上一點的座標為(sin，cos)，則角α的最小正值為( )
abcd.
2、三角函式線
圖中有向線段mp、om、at分別表示正弦線、余弦線和正切線。
例1．已知角α的余弦線是單位長度的有向線段，那麼角α的終邊在( a )
a．x軸上b．y軸上
c．直線y＝x上d．直線y＝－x上
例2 已知點p(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在[0,2π]內α的取值範圍是________．
解：由已知得， 解得
答案：(，)∪(π，)
(畫三角函式線求解)
即時訓練： 已知角α的終邊上一點的座標為(sin，cos)，則角α的最小正值為( )
ab.cd.
解： ∵sin<0，cos>0，
∴點(sin，cos)落在第二象限，
又∵tan故選a.
3、三角函式符號的判定
例1 判斷下列三角函式值得符號
(1) sin(-670°)cos20122) sin4cos4
(3) 判斷下列各式中角α的終邊所在的象限．
①sinα·tanα<0；
②tanα>0且sinα＋cosα>0.
即時訓練：
(1)若sinθ·cosθ<0，則θ在第________象限．
(2)若α是第一象限角，則sin2α，cos2α，sin，cos，tan中一定為正值的有________個．
解析：(1)∵sinθ·cosθ<0，故sinθ，cosθ異號，顯然θ只有在第
二、四象限才符合要求．
(2)由α是第一象限角，得2kπ<α<2kπ＋，k∈z，
∴4kπ<2α<4kπ＋π，故2α是第一或第二象限角或在y軸的正半軸上，顯然sin2α>0；
同理可知是第一或第三象限角，此時tan>0一定成立．
綜上，一定為正值的有2個．
四、 正弦、余弦函式的誘導公式—「奇變偶不變，符號看象限」
[例1] 設k為整數，化簡.
解 解法一：當k為偶數時，設k＝2m，m∈z.
原式＝＝＝＝－1
當k為奇數時，設k＝2m＋1(m∈z)．
同理可得：原式＝－1，∴原式＝－1.
解法二：由(kπ－α)＋(kπ＋α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ.
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，cos[(k－1)π－α]
＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)
sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
∴原式＝＝－1.
例 2 p17例9
即時訓練：
已知α是第三象限角，且f(α)＝；
(1)化簡f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1) f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(－3·＋α)＝－sinα，∴sinα＝－，
∵α為第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.
五、同角三角函式關係和誘導公式的綜合應用
[例1] 已知sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，求下列各式的值．
(12)sin2α＋sin2α.
∵sin(3π＋α)＝2sin(＋α)
∴－sinα＝－2cosα.∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
解法一：(直接代入)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
解法二：(同除轉化)：
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.
[例2] 已知－(1)求sinx－cosx的值；
(2)求的值
解： (1)由sinx＋cosx＝知1＋2sinxcosx＝，即2sinxcosx＝－.
又－0，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.又sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－；
(2)由知sinx＝－，cosx＝，
因此tanx＝－.∴
＝＝＝＝－.
即時訓練：
已知α是三角形的內角，若sinα＋cosα＝，求tanα的值
解：由sinα＋cosα＝兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－<0.
∵α是三角形內角，sinα>0，從而cosα<0，
∴<α<π.
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，
∴sinα－cosα＝
由得∴tanα＝＝－.
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