數學基礎知識與典型例題
第一章集合與簡易邏輯
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數學基礎知識與典型例題(第一章集合與簡易邏輯)答案
例1選a;
例2填 注:方程組解的集合應是點集.
例3解:∵,∴.⑴若,則,此時,
,與已知矛盾,捨去.⑵若,則①當時,.b中有兩個元素均為,與集合中元素的互異性矛盾,應捨去.②當時, ,符合題意.綜上所述,.
[點評]本題考查集合元素基本特徵──確定性、互異性、無序性，切入點是分類討論思想，由於集合中元素用字母表示，檢驗必不可少。
例4c例5c例6①,②,③,④
例7填2例8c例9
例10解：∵m==，n==∴ m∩n=m=
注：在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特徵。m、n均為數集，不能誤認為是點集，從而解方程組。
其次要化簡集合。實際上，從函式角度看，本題中的m，n分別是二次函式和一次函式的值域。一般地，集合應看成是函式y=f(x)的值域，通過求函式值域化簡集合。
此集合與集合是有本質差異的，後者是點集，表示拋物線y=x2+1上的所有點，屬於圖形範疇。集合中元素特徵與代表元素的字母無關，例如=。
例11填註：點集與數集的交集是.
例12埴,r
例13解：∵cu a = ,cu b = ,
∴(cu a)∩(cu b) = ,(cu a)∪(cu b) = ,
a∪b = ,a∩b = ,∴ cu (a∪b) = ,cu (a∩b) =
例14;
例15原不等式的解集是
例16例17分析：關鍵是去掉絕對值.方法1：
原不等式等價於,即，∴x>2或x<，∴原不等式的解集為.方法2：(整體換元轉化法)分析：
把右邊看成常數c，就同一樣∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) x>2 或x<，∴原不等式的解集為.
例18分析：關鍵是去掉絕對值.
方法1：零點分段討論法（利用絕對值的代數定義）
①當時，∴∴4<1
②當時∴，∴
③當時∴-4<1∴
綜上,原不等式的解集為
也可以這樣寫：
解：原不等式等價於①或②或 ③，解①的解集為φ，②的解集為.
方法2：數形結合:從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|<1表示數軸上到3和-1兩點的距離之差小於1的點∴原不等式的解集為.
例19答：{x|x0或1例20解：要原方程有兩個負實根，必須: .
∴實數k的取值範圍是{k|-2例21解：逆命題：若 x = 3 且 y = 2 則 x + y = 5（真）
否命題：若 x + y 5 則 x 3且y2（真）
逆否命題：若 x 3 或y2 則 x + y 5（假）
例22答:真解：逆否：a = 2且 b = 3，則a+b = 5，成立，所以此命題為真.
例23答:若a、b都不為0，則ab≠0
例24解：假設x<1且y<1，由不等式同向相加的性質x+y<2與已知x+y≥2矛盾,
∴ 假設不成立∴ x、y中至少有乙個不小於1
[注]反證法的理論依據是：欲證「若p則q」為真，先證「若p則非q」為假，因在條件p下，q與非q是對立事件（不能同時成立，但必有乙個成立），所以當「若p則非q」為假時，「若p則q」一定為真。
例25解：函式在r上單調遞減
不等式例26答：.
例27答既不充分也不必要
解:∵「若 x + y =3,則x = 1或y = 2」是假命題,其逆命題也不成立.
∴逆否命題: 「若,則」是假命題, 否命題也不成立.
故是的既不充分也不必要條件.
例28選b
例29選a
1、當別人說你「有缺陷」時，你就「瘋狂地戰勝它」吧！
瘋狂就是：
「practicewhileothersarecomplaining.當別人抱怨時――你練習。
believewhileothersaredoubting.當別人疑惑時――你堅信。」
從乙個人的「**爆發力」上，我最佩服桌球雙料冠軍鄧亞萍。
她因為身高只有1公尺5，曾經被省隊和國家隊都拒絕過，她父親就對她說：「你個子矮，就必須把球打得快，這樣才有進攻性；你個子矮，別人跑一步，你就要跑兩步，所以你一定要跑得快。」
因為她要克服個子矮的弱點，所以在訓練時，她比任何人都要付出多兩倍的努力，每天要換幾次衣服，晚上趁別人睡下時，還要再悄悄躲進訓練房苦練到暈倒為止。
鄧亞萍說：「我打球打贏了還不一定能進國家隊，更別說輸了。所以我打球很**，那是逼出來的。」
假如你感覺自己有某方面缺陷弱點時，你就瘋狂地戰勝它吧，像鄧亞萍一樣，當別人休息時――你練習；當別人疑惑時――你堅信；當別人放棄時――你堅持……苦練短處，把短處變得更快、把短處變得更狠，從而把短處變成長處！
鄧亞萍說：「我不比別人聰明，但我能管住自己。我從小就形成了一旦設定目標，就絕不輕易放棄的習慣。也許，這就是我能贏得成功的原因。」
當你看到這裡時，也請怒吼一聲：「我要管住自己的軟弱！一旦設定目標――就絕不放棄！（nevergiveup）」
成功就是堅持！
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