一、導數的概念和幾何意義
1. 函式的平均變化率:函式在區間上的平均變化率為:。
2. 導數的定義:設函式在區間上有定義,,若無限趨近於0時,比值無限趨近於乙個常數a,則稱函式在處可導,並稱該常數a為函式在處的導數,記作。
函式在處的導數的實質是在該點的瞬時變化率。
3. 求函式導數的基本步驟:(1)求函式的增量;(2)求平均變化率:;(3)取極限,當無限趨近與0時,無限趨近與乙個常數a,則.
4. 導數的幾何意義:
函式在處的導數就是曲線在點處的切線的斜率。由此,可以利用導數求曲線的切線方程,具體求法分兩步:
(1)求出在x0處的導數,即為曲線在點處的切線的斜率;
(2)在已知切點座標和切線斜率的條件下,求得切線方程為。
當點不在上時,求經過點p的的切線方程,可設切點座標,由切點座標得到切線方程,再將p點的座標代入確定切點。特別地,如果曲線在點處的切線平行與y軸,這時導數不存在,根據切線定義,可得切線方程為。
5. 導數的物理意義:
質點做直線運動的位移s是時間t的函式,則表示瞬時速度,表示瞬時加速度。
[例3]求在點和處的切線方程。
解:即過點的切線的斜率為4,故切線為:.
設過點的切線的切點為,則切線的斜率為,又,
故,。即切線的斜率為4或12,從而過點的切線為:
二、導數的運算
1. 常見函式的導數:
(1)(k, b為常數2)(c為常數);
(34);
(56);
(78)(α為常數);
(910);
(1112);
(1314)。
2. 函式的和、差、積、商的導數:
(1);
(2)(c為常數);
(3);
(4)。
3. 簡單復合函式的導數:
若,則,即。
[例1]已知,則
解:設,,則
.2.在點x=3處的導數是
3.已知,若,則的值為
4.已知p(-1,1),q(2,4)是曲線上的兩點,則與直線平行的曲線的切線方程是
三、導數的應用
1. 求函式的單調性:
利用導數求函式單調性的基本方法:設函式在區間內可導,
(1)如果恆,則函式在區間上為增函式;
(2)如果恆,則函式在區間上為減函式;
(3)如果恆,則函式在區間上為常數函式。
利用導數求函式單調性的基本步驟:求函式的定義域;求導數;
解不等式,解集在定義域內的不間斷區間為增區間;解不等式,解集在定義域內的不間斷區間為減區間。
反過來, 也可以利用導數由函式的單調性解決相關問題(如確定引數的取值範圍):
設函式在區間內可導,
(1)如果函式在區間上為增函式,則(其中使的值不構成區間);
(2) 如果函式在區間上為減函式,則(其中使的值不構成區間);
(3) 如果函式在區間上為常數函式,則恆成立。
2. 求函式的極值:
設函式在及其附近有定義,如果對附近的所有的點都有(或),則稱是函式的極小值(或極大值)。
可導函式的極值,可通過研究函式的單調性求得,基本步驟是:
(1)確定函式的定義域;(2)求導數;(3)求方程的全部實根,,順次將定義域分成若干個小區間,並列表:x變化時,和值的變化情況:
(4)檢查的符號並由**判斷極值。
3. 求函式的最大值與最小值:
如果函式在定義域i內存在,使得對任意的,總有,則稱為函式在定義域上的最大值。函式在定義域內的極值不一定唯一,但在定義域內的最值是唯一的。
求函式在區間上的最大值和最小值的步驟:
(1)求在區間上的極值;
(2)將第一步中求得的極值與比較,得到在區間上的最大值與最小值。
4. 解決不等式的有關問題:
(1)不等式恆成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。
的值域是時,
不等式恆成立的充要條件是,即;
不等式恆成立的充要條件是,即。
的值域是時,
不等式恆成立的充要條件是;
不等式恆成立的充要條件是。
(2)證明不等式可轉化為證明,或利用函式的單調性,轉化為證明。
1.已知函式在處有極值為10,則
[例2]已知函式在上是減函式,求的取值範圍.
正解:,在上是減函式,在上恆成立,且,即且,.
[例3]當 ,證明不等式.
證明:,,則,當時。在內是增函式,,即,又,當時,,在內是減函式,,即,因此,當時,不等式成立.
§10.3定積分與微積分基本定理
一、知識導學
1.可微:若函式在的增量可以表示為的線性函式(是常數)與較高階的無窮小量之和:(1),則稱函式在點可微,(1)中的稱為函式在點的微分,記作或.
函式在點可微的充要條件是函式在可導,這時(1)式中的等於.若函式在區間上每點都可微,則稱為上的可微函式.函式在上的微分記作.
2.微積分基本定理:如果,且在上可積.則
.其中叫做的乙個原函式.
由於,也是的原函式,其中為常數.
[例1]求曲線與軸在區間上所圍成陰影部分的面積s.
正解:5.求下列定積分;
(1) (2)
導數及其應用知識點總結
1 函式從到的平均變化率 2 導數定義 在點處的導數記作 3 函式在點處的導數的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率 4 常見函式的導數公式 5 導數運算法則 6 在某個區間內,若,則函式在這個區間內單調遞增 若,則函式在這個區間內單調遞減 7 求解函式單調區間的步驟 1 確定函式的定義域 2 求導數 ...
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