第3講應用問題的題型與方法
數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一， 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化，能結合應用所學數學知識、思想方法解決問題，包括解決帶有實際意義的或者相關學科、生產、生活中的數學問題，並能用數學語言正確的加以表述.
考生的弱點主要表現在將實際問題轉化成數學問題的能力上.實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高閱讀能力即數學審題能力，審出函式、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字敘述所反應的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關係，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立對應的數學模型解答.可以說，解答乙個應用題重點要過三關：
一是事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言；三是數理關，即構建相應的數學模型，構建之後還需要紮實的基礎知識和較強的數理能力.
由於數學問題的廣泛性，實際問題的複雜性，干擾因素的多元性，更由於實際問題的專一性，這些都給學生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質的內容，轉化為函式、方程、不等式、數列、排列、組合、概率、曲線、解三角形等問題.
一、知識整合
1．「考試大綱」對於「解決實際問題的能力」的界定是：能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括提煉、解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，並能用數學語言正確地加以表述.並且指出：
對數學應用問題，要把握好提出問題所涉及的數學知識和方法的深度和廣度，切合中學數學教學實際.
2．應用問題的「考試要求」是考查考生的應用意識和運用數學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：
（1）、要求考生關心國家大事，了解資訊社會，講究聯絡實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，明確「數學有用，要用數學」，並積累處理實際問題的經驗.
（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉資訊，將普通語言轉化為數學語言，以數學語言為工具進行數學思維與交流.
（3）、考查建立數學模型的初步能力，並能運用「考試大綱」所規定的數學知識和方法來求解.
3．求解應用題的一般步驟是（四步法）：
（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關係；
（2）、建模：把主要關係近似化、形式化，抽象成數學問題；
（3）、求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解；
（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節，最後將結果應用於現實，作出解釋或驗證.
4．在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些型別：數列模型、函式模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.
ⅰ．函式模型函式是中學數學中最重要的一部分內容，現實世界中普遍存在著的最優化問題，常常可歸結為函式的最值問題，通過建立相應的目標函式，確定變數的限制條件，運用函式知識和方法去解決.
⑴ 根據題意，熟練地建立函式模型；
⑵ 運用函式性質、不等式等知識處理所得的函式模型.
ⅱ．幾何模型諸如航行、建橋、測量、人造衛星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，或用方程、不等式或用三角函式知識來求解.
ⅲ．數列模型在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款複利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數列問題，即通過建立相應的數列模型來解決.在解應用題時，是否是數列問題一是看自變數是否與正整數有關；二是看是否符合一定的規律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規律.
二、例題分析
例1．（2023年全國高考題）某地現有耕地10000公頃，規劃10年後糧食單產比現有增加22％，人均糧食產量比現在提高10％，如果人口年增長率為1％，那麼耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？
（糧食單產＝ ； 人均糧食產量＝）
分析：此題以關係國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組資料，要求考生從兩條線索抽象數列模型，然後進行比較與決策.
解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數及三個百分率，其中人均糧食占有量p＝， 主要關係是：p≥p .
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年後糧食單產為a(1＋0.
22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋c×0.01＋c×0.01＋c×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
另解：1.讀題：糧食總產量＝單產×耕地面積； 糧食總占有量＝人均占有量×總人口數；
而主要關係是：糧食總產量≥糧食總占有量
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年後糧食單產為a(1＋0.
22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1o－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋c×0.01＋c×0.01＋c×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
說明：本題主要是抓住各量之間的關係，注重3個百分率.其中耕地面積為等差數列，總人口數為等比數列模型，問題用不等式模型求解.
本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數函式、不等式、增長率、二項式定理應用於近似計算等知識熟練.此種解法可以解決有關統籌安排、最佳決策、最優化等問題.此種題型屬於不等式模型，也可以把它作為數列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型後解出不等式.
在解答應用問題時，我們強調「評價」這一步不可少！它是解題者的自我調節，比如本題求解過程中若令1.01≈1，算得結果為x≤98公頃，自然會問：
耕地減少這麼多，符合國家保持耕地的政策嗎？於是進行調控，檢查發現是錯在1.01的近似計算上.
am c d b
例2．（2023年上海高考題）已知某市2023年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2023年底該市人均住房面積（精確到0.01）？
分析：城市每年人口數成等比數列，每年住房總面積成等比數列，分別寫出2023年後的人口數、住房總面積，從而計算人均住房面積.
解：1.讀題：主要關係：人均住房面積＝
2.建模：2023年底人均住房面積為
3.求解：化簡上式＝，
∵ 1.02＝1＋c×0.02＋c×0.02＋c×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面積為≈4.92
4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2023年底該市人均住房面積為4.92m.
說明：一般地，涉及到利率、產量、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出資料成等差數列還是等比數列，然後用兩個基礎數列的知識進行解答.此種題型屬於應用問題中的數列模型.
例3．如圖，一載著重危病人的火車從o地出發，沿射線oa行駛，其中
在距離o地5a（a為正數）公里北偏東β角的n處住有一位醫學專家，其中
sinβ=，並在c處相遇，經測算當兩車行駛的路線與ob圍成的三角形obc面積s最小時，搶救最及時.
（1）求s關於p的函式關係；
（2）當p為何值時，搶救最及時.
解：（1）以o為原點，正北方向為y軸建立直角座標系，
則 設n（x0，y0），
又b（p，0），∴直線bc的方程為：
由得c的縱座標
，∴ （2）由（1）得∴，∴當且僅當時，上式取等號，∴當公里時，搶救最及時.
例4．（2023年全國高考題）甲、乙兩地相距s千公尺，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千公尺／時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千公尺／時）的平方成正比，比例係數為b；固定部分為a元.
① 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千公尺／時）的函式，並指出函式的定義域；
② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：幾個變數（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯，抽象出其中的函式關係，並求函式的最小值.
解：（讀題）由主要關係：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千公尺／時）的函式關係式是：
y＝s(＋bv)，其中函式的定義域是v∈(0，c] .
整理函式有y＝s(＋bv)＝s(v＋)，
由函式y＝x＋(k>0)的單調性而得：
噹噹≥c時，則v＝c時，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當說明：1.對於實際應用問題，可以通過建立目標函式，然後運用解（證）不等式的方法求出函式的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關係，如本題中速度v的範圍，一旦忽視，將出現解答不完整.
此種應用問題既屬於函式模型，也可屬於不等式模型.
2.二次函式、指數函式以及函式（a＞0，b＞0）的性質要熟練掌握.
3.要能熟練地處理分段函式問題.
例5．（2023年普通高等學校招生全國統一考試(理工農醫類20)）
在某海濱城市附近海面有一颱風，據監測，當前颱風中心位於城市o（如圖）的東偏南方向300km的海面p處，並以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 颱風侵襲的範圍為圓形區域，當前半徑為60km，並以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時後該城市開始受到颱風的侵襲？
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