第9講函式問題的題型與方法
三、函式的概念
函式有二種定義，一是變數觀點下的定義，一是對映觀點下的定義．複習中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應在判斷是否構成函式關係，兩個函式關係是否相同等問題中得到深化，更應在有關反函式問題中正確運用．具體要求是：
1．深化對函式概念的理解，明確函式三要素的作用，並能以此為指導正確理解函式與其反函式的關係．
2．系統歸納求函式定義域、值域、解析式、反函式的基本方法．在熟練有關技能的同時，注意對換元、待定係數法等數學思想方法的運用．
3．通過對分段定義函式，復合函式，抽象函式等的認識，進一步體會函式關係的本質，進一步樹立運動變化，相互聯絡、制約的函式思想，為函式思想的廣泛運用打好基礎．
本部分的難點首先在於克服「函式就是解析式」的片面認識，真正明確不僅函式的對應法則，而且其定義域都包含著對函式關係的制約作用，並真正以此作為處理問題的指導．其次在於確定函式三要素、求反函式等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函式有關概念的結合．
ⅰ 深化對函式概念的認識
例1．下列函式中，不存在反函式的是
分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函式的反函式，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．
從概念看，這裡應判斷對於給出函式值域內的任意值，依據相應的對應法則，是否在其定義域內都只有惟一確定的值與之對應，因此可作出給定函式的圖象，用數形結合法作判斷，這是常用方法。
此題作為選擇題還可採用估算的方法．對於d，y=3是其值域內乙個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據概念，則易得出d中函式不存在反函式．於是決定本題選d．
說明：不論採取什麼思路，理解和運用函式與其反函式的關係是這裡解決問題的關鍵．
由於函式三要素在函式概念中的重要地位，那麼掌握確定函式三要素的基本方法當然成了函式概念複習中的重要課題．
例1．（重慶市）函式的定義域是（ d ）
ab、 c、 d、
例2．（天津市）函式（）的反函式是（ d ）
ab、cd、
也有個別小題的難度較大，如
例3．（北京市）函式其中p、m為實數集r的兩個非空子集，又規定，，給出下列四個判斷：
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中正確判斷有（ b ）
a、 1個 b、 2個 c、 3個 d、 4個
分析：若，則只有這一種可能．②和④是正確的．
ⅱ 系統小結確定函式三要素的基本型別與常用方法
1．求函式定義域的基本型別和常用方法
由給定函式解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值範圍．它依賴於對各種式的認識與解不等式技能的熟練．這裡的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字
例2．已知函式定義域為(0，2)，求下列函式的定義域：
分析：x的函式f(x)是由u=x與f(u)這兩個函式復合而成的復合函式，其中x是自變數，u是中間變數．由於f(x)，f(u)是同乙個函式，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值範圍．
解：(1)由0＜x＜2， 得
說明：本例(1)是求函式定義域的第二種型別，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函式f[g(x)]的定義域．關鍵在於理解復合函式的意義，用好換元法．(2)是二種型別的綜合．
求函式定義域的第三種型別是一些數學問題或實際問題中產生的函式關係，求其定義域。
2．求函式值域的基本型別和常用方法
函式的值域是由其對應法則和定義域共同決定的．其型別依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函式值域；(2)求由常見函式復合而成的函式的值域；(3)求由常見函式作某些「運算」而得函式的值域．
3．求函式解析式舉例
例3．已知xy＜0，並且4x-9y=36．由此能否確定乙個函式關係y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．
分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當然不能確定乙個函式關係y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？
所以因此能確定乙個函式關係y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)．
說明：本例從某種程度上揭示了函式與解析幾何中方程的內在聯絡．任何乙個函式的解析式都可看作乙個方程，在一定條件下，方程也可轉化為表示函式的解析式．求函式解析式還有兩類問題：
(1)求常見函式的解析式．由於常見函式(一次函式，二次函式，冪函式，指數函式，對數函式，三角函式及反三角函式)的解析式的結構形式是確定的，故可用待定係數法確定其解析式．這裡不再舉例．
(2)從生產、生活中產生的函式關係的確定．這要把有關學科知識，生活經驗與函式概念結合起來，舉例也宜放在函式複習的以後部分．
四、函式的性質、圖象
(一)函式的性質
函式的性質是研究初等函式的基石，也是高考考查的重點內容．在複習中要肯於在對定義的深入理解上下功夫．
複習函式的性質，可以從「數」和「形」兩個方面，從理解函式的單調性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函式的性質的問題中得以鞏固，在求復合函式的單調區間、函式的最值及應用問題的過程中得以深化．具體要求是：
1．正確理解函式單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函式的奇偶性，以及函式在某一區間的單調性，能熟練運用定義證明函式的單調性和奇偶性．
2．從數形結合的角度認識函式的單調性和奇偶性，深化對函式性質幾何特徵的理解和運用，歸納總結求函式最大值和最小值的常用方法．
3．培養學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力．
這部分內容的重點是對函式單調性和奇偶性定義的深入理解．
函式的單調性只能在函式的定義域內來討論．函式y=f(x)在給定區間上的單調性，反映了函式在區間上函式值的變化趨勢，是函式在區間上的整體性質，但不一定是函式在定義域上的整體性質．函式的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制．
對函式奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意乙個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函式的定義域關於原點對稱．這是函式具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函式f(x)的圖象關於直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函式的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映．
這部分的難點是函式的單調性和奇偶性的綜合運用．根據已知條件，調動相關知識，選擇恰當的方法解決問題，是對學生能力的較高要求．
1．對函式單調性和奇偶性定義的理解
例4．下面四個結論：①偶函式的圖象一定與y軸相交；②奇函式的圖象一定通過原點；③偶函式的圖象關於y軸對稱；④既是奇函式又是偶函式的函式一定是f(x)=0(x∈r)，其中正確命題的個數是 （ ）
a．1 b．2c．3 d．4
分析：偶函式的圖象關於y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．
奇函式的圖象關於原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確．
若y=f(x)既是奇函式，又是偶函式，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈r，如例1中的(3)，故④錯誤，選a．
說明：既奇又偶函式的充要條件是定義域關於原點對稱且函式值恒為零．
2．復合函式的性質
復合函式y=f[g(x)]是由函式u=g(x)和y=f(u)構成的，因變數y通過中間變數u與自變數x建立起函式關係，函式u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集．
復合函式的性質由構成它的函式性質所決定，具備如下規律：
(1)單調性規律
如果函式u=g(x)在區間［m，n］上是單調函式，且函式y=f(u)在區間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調函式，那麼
若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復合函式y=f[g(x)]為增函式；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函式．
(2)奇偶性規律
若函式g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關於原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函式時，y=f[g(x)]是奇函式；u=g(x)，y=f(u)都是偶函式，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函式．
例5．若y=log (2-ax)在［0，1］上是x的減函式，則a的取值範圍是（ ）
a．(0，1) b．(1，2) c．(0，2) d．[2，+∞)
分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log (2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log (2-ax)在[0，1]上是x的減函式．由於所給函式可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函式，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log (2-ax)定義域的子集．
解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函式，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log (2-a)．
解法二：由對數概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函式，y= logu應為增函式，得a＞1，排除a，c，再令
故排除d，選b．
說明：本題為2023年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確．
3．函式單調性與奇偶性的綜合運用
例6．甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例係數為b；固定部分為a元．
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函式，並指出這個函式的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛．
分析：(1)難度不大，抓住關係式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．
函式問題的題型與方法
一 複習目標 1 了解對映的概念，理解函式的概念。2 了解函式的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性和奇偶性的方法，並能利用函式的性質簡化函式圖象的繪製過程。3 了解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求一些簡單函式的反函式。4 理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質，...
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函式問題的題型與方法
第1 4課時課題 函式問題的題型與方法 一 複習目標 1 了解對映的概念，理解函式的概念。2 了解函式的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性和奇偶性的方法，並能利用函式的性質簡化函式圖象的繪製過程。3 了解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求一些簡單函式的反函式。4 理解分...