導數壓軸題-----題型解法歸納
一、導數在高考中的地位：
常作為壓軸題來考察，尤其是解答題，至少佔到14分；當然在選擇題或者是填空題裡也會出現1～2道，因此高考試卷中它佔到了20分左右的比重。
二、導數可以結合考察的知識點：
1、數列
2、不等式與方程
3、函式
4、解析幾何
其中最常見的就是和函式、不等式的結合，解決這類題目的漢族到思想是構造新函式，利用導數求解單調性，進而證明不等式或者最值又或者是引數的範圍等等。
三、題型歸納：（新題、難題、考察知識點總結）
（1）基礎題目小試身手：
1.（不等式、函式的性質）(遼寧省東北育才學校2010屆高三第一次模擬（數學理）
已知函式
（ⅰ）為定義域上的單調函式，求實數的取值範圍；
（ⅱ）當時，求函式的最大值；
（ⅲ）當時，且，證明：.
2.（不等式恆成立問題）設函式.
（ⅰ）求函式f（x）的單調區間和極值；
（ⅱ）若對任意的不等式| f′（x）|≤a恆成立，求a的取值範圍.
3．（導數的簡單應用）已知函式
（ⅰ）若，求的極大值；
（ⅱ）若在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值範圍.
4.（不等式的證明）已知函式．
(1)求函式的單調遞減區間；(2)若，求證：≤≤x．
5．（不等式、存在性問題）已知其中是自然常數，
（1）討論時,的單調性、極值;
（2）求證：在（1）的條件下，
（3）是否存在實數，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。
6.（方程、不等式） 函式（）的圖象關於原點對稱，、分別為函式的極大值點和極小值點，且|ab|＝2，.
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求函式的解析式；（ⅲ）若恒成立，求實數的取值範圍.
7. （導數的幾何意義、不等式恆成立問題）已知函式的圖象為曲線e.
(ⅰ) 若曲線e上存在點p，使曲線e在p點處的切線與x軸平行，求a,b的關係；
(ⅱ) 說明函式可以在和時取得極值，並求此時a,b的值；
(ⅲ) 在滿足(2)的條件下，在恆成立，求c的取值範圍.
8.（導數的簡單應用） 已知函式.
⑴ 設.試證明在區間內是增函式；
⑵ 若存在唯一實數使得成立，求正整數的值；
⑶ 若時，恆成立，求正整數的最大值.
9.（抽象函式性質的證明、不等式）設的定義域為,的導函式為,且對任意正數均有，
(1)判斷函式在上的單調性；
(2)設，比較與的大小，並證明你的結論；
(3)設，若，比較與的大小，並證明你的結論．
（2）典型題目講解剖析：
例1、（不等式、方程）已知二次函式滿足：①在時有極值；②影象過點，且在該點處的切線與直線平行。
(1)求的解析式；
(2)求函式的值域；
(3)若曲線上任意兩點的連線的斜率恆大於，求的取值範圍。
例2、（解析幾何、導數的幾何意義）設、是函式的兩個極值點，且．
（1）證明：；（2）證明：；
（3）若函式，證明：當且時，
例3、（導數的幾何意義、解析幾何、方程與函式）已知函式為常數），直線與函式、的圖象都相切，且與函式圖象的切點的橫座標為1．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若g′[注：g′是g的導函式]，求函式的單調遞增區間；
（3）當時，試討論方程的解的個數．
例4、（不等式、導數的幾何意義、存在性問題）已知b＞，c＞0，函式的影象與函式的影象相切．
（ⅰ）設，求；（ⅱ）設(其中x＞)在上是增函式，求c的最小值；
（ⅲ）是否存在常數c，使得函式在內有極值點？若存在，求出c的取值範圍；若不存在，請說明理由．
例5、（導數的幾何意義、不等式）設函式、r）.
（ⅰ）若，過兩點（0，0）、（，0）的中點作與軸垂直的直線，此直線與函式的圖象交於點，求證：函式在點p處的切線過點（，0）。
（ⅱ）若），且當時恆成立，求實數的取值範圍.
例6、（不等式恆成立問題、方程與函式）已知函式在（1，2是增函式，在（0，1）為減函式.
（1）求、的表示式；
（2）求證：當時，方程有唯一解；
（3）當時，若在∈（0，1內恆成立，求的取值範圍
例7、（數列、數學歸納法、不等式）已知函式在（0，1）上是增函式.
（1）求實數a的取值集合a； （2）當a取a中最小值時，定義數列滿足：，且為常數），試比較的大小；
（3）在（2）的條件下，問是否存在正實數c，使對一切恆成立？
例8、（方程、存在性問題、不等式恆成立問題）已知在區間[－1，1]上是增函式.
（1）求實數a的值所組成的集合a.
（2）設關於x的方程的兩根為、，試問：是否存在實數m，使得不等式對任意恆成立？若存在，求出m的取值範圍；若不存在，請說明理由。
例9、（方程、不等式、解析幾何）已知函式
（1）若，函式的圖象能否總在直線的下方？說明理由；
（2）若函式在[0，2]上是增函式，是方程=0的乙個根，求證：；
（3）若函式圖象上任意不同的兩點連線斜率小於1，求實數a的取值範圍.
例10、（方程、函式、解析幾何）函式的圖象上有兩點a（0，1）和b（1，0）
（ⅰ）在區間（0，1）內，求實數a使得函式的圖象在x=a處的切線平行於直線ab；
（ⅱ）設m>0，記m（m，），求證在區間（0，m）內至少有一實數b，使得函式圖象在x=b處的切線平行於直線am.
例11、（絕對值不等式、方程）設,的導數為. 若.
(1) 求的解析式;(2) 對於任意的, 且,
求證: ①; ②.
例12、（函式的性質、不等式）已知定義在實數集r上的奇函式與偶函式滿足: (, 且).
(1) 求證:;
(2) 設的反函式為, 當時, 試比較與－1的大小, 並證明你
的結論;
(3) 若, n為正偶數, 試比較與的大小, 並證明你的結論.
例13、（函式的影象與性質、不等式）已知函式.
、求的極值. 、求證的圖象是中心對稱圖形.
、設的定義域為,是否存在.當時，的取值範圍是?若存在,求實數、的值；若不存在，說明理由
例14、（函式的幾何意義、函式的性質、方程與不等式）已知是定義在r上的函式，其圖象交x軸於a、b、c三點．若點b的座標為 (2，0)，且f (x) 在[－1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
(1)求c的值；
(2)在函式f (x)的圖象上是否存在一點m(x0，y0)，使得f (x)在點m的切線斜率為3b？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由；
(3)求| ac |的取值範圍．
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